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1、三角形的内切圆,确定圆的条件是什么?,角平分线的定义、性质和判定都是什么？,由于不共线三点确定一个圆，因此每一个三角形都有且只有一个外接圆，圆心是三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形的外心可能在三角形内(锐角三角形)，可能在三角形的一边上(直角三角形的外心是斜边的中点)，可能在三角形外面(钝角三角形).,小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。,思考,A,B,C,思考下列问题：,1如图，若O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？,圆心0在ABC
2、的平分线上。,2如图2，如果O与ABC的内角ABC的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么此O的圆心在什么位置？,圆心0在ABC与ACB的两个角的角平分线的交点上。,O,M,A,B,C,N,合作探究：三角形内切圆的作法,3如何确定一个与三角形 三边都相切的圆的圆心位置 与半径的长？,4你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？内切圆圆心能否在三角形外部?,作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， 垂线段的长是符合条件的半径。,I,F,C,A,B,E,D,已知： ABC（如图）. 求作：和ABC的各边都相切的圆.,作法：1. 作ABC、
3、 ACB的平分线BM和CN，交点为I.,I,D,例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切,分析,2. 过点I作IDBC，垂足为点D.,3. 以I为圆心，ID为半径作I.,I就是所求的圆.,D,A,E,B,C,F,O,1. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.,2. 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.,读句画图：,作直线m与O相切于点D， 作直线n与O相切于点E， 直线m和直线n相交于点A;,以点O为圆心，1cm为半径画O;,作直线l与圆O相切于点F， 直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C
4、.,1.如图1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圆，点O叫ABC的 ，它是三角形 的交点.,外接,内接,外心,三边中垂线,2.如图2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圆，点I是 DEF的 心，它是三角形 的交点.,外切,内切,内,三条角平分线,3. 如图3，四边形DEFG是O的 四边形，O是四边形DEFG的 圆.,内切,外切,三角形内心的性质：,1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2. 三角形的内心在三角形的角平分线上.,1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上.,三角形外心的性质：,三角形三边 中垂线的交 点,1.OA=O
5、B=OC 2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条 角平分线的 交点,1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB 3.内心在三角形内部,o,A,B,C,1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） 3. 等边三角形的内心和外心重合 （ ） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ ） 5. 菱形一定有内切圆（ ） 6. 矩形一定有内切圆（ ）,错,错,对,对,错,对,一 判断题：,如图， ABC的顶点在O上， ABC的各边 与I都相切，则ABC是I的 三角形； ABC是O的 三角形； I叫ABC 的圆； O
6、叫ABC的 圆，点I是ABC的 心， 点O是ABC的 心.,外切,内接,内切,外接,内,外,二 填空：,（2）若A=80 ，则BOC = 度. （3）若BOC=100 ，则A = 度.,解:,130,20,（1）点O是ABC的内心，, BOC=180 (1 3),= 180 (25 35 ),=120 .,同理 3= 4= ACB= 70 =35 ., 1= 2= ABC= 50= 25.,理由： 点O是ABC的内心，, 1 3 = （ABC+ ACB）, 1= ABC， 3= ACB.,= 180 （ 90 A ）,= （180 A ）,= 90 + A.,= 90 A.,答： BOC =9
7、0 + A.,（4）试探索： A与BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由.,在OBC中，,BOC =180 （ 1 3 ）,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S， 则ABC的内切圆的半径 r,结论,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, A
8、Bc,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CE
9、CD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,o,o,o,外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形
10、内切圆,内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,分析题目已知：如图, ABC的内切圆O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB9厘米，BC 14厘米,CA 13厘米,求AF、BD、CE的长。,O,例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF
11、,CECD,例.如图，ABC中,C =90 ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半径r.,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,分析 试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等,1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念.3. 学习时要明确“接”和“切”的含义
12、、弄清“内心”与 “外心”的区别， 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题.,课堂小结：,.,A,B,C,a,b,c,r,r =,a+b-c,2,例 直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为_.,r,O,已知：如图，在RtABC中，C=90，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长.,2,E,D,图（1）,图（2）,说出下列图形中圆与四边形的名称：,四边形ABCD叫做O的外切四边形.,四边形ABCD叫做O的内接四边形.,O,B,A,探讨3：设ABC是直角三角形，C=90，它的内切圆
13、的半径为r，ABC 的各边长分别为a、b、c，试探讨r与a、b、c的关系.,C,c,b,a,F,E,D,r,结论：,已知：在ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.,A,B,C,F,D,E,x,x,13-x,13-x,9-x,9-x,(13-x)+(9-x)=14.,略解：设AFx，则BF=13-x.,由切线长定理，知AE=AF=x,BD=BF=13-x, DC=EC=9-x.又BD+CD=14，,解得x=4.,答：AF=4，BD=9，CE=5.,AF=4，BD=9，CE=5.,填空:,1. 三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在圆的_. 2.如图,O是ABC的内心,则 （1）OA平分_, OB平分_,OC平分_,. （2）若BAC=100,则BOC=_.,1,无数,内部,BAC,140,ABC,ACB,2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,探讨：设ABC 的内切圆的半径为r，ABC 的各边长之和为L，ABC 的面积S,我们会有什么结论? 解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L2AD+2BE+2CE=L2AD=L2（BE+CE）AD=F？,
