《2018年高考数学 母题题源系列 专题18 应用导数研究函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学 母题题源系列 专题18 应用导数研究函数的性质（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题十八专题十八 应用导数研究函数的性质应用导数研究函数的性质【母题原题母题原题 1】1】 【2018【2018 浙江，浙江，22】22】已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点【答案】 （）见解析（）见解析【解析】分析: （）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式， （）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调
2、递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.详解：（）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）-0+22-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即设h（x）=，则h（x）=，其中g（x）=由（）可知g（x）g（16） ，又a34ln2，故g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，所以h（x）0，即函数h（x）在（0，+）上单调递减，因此方程f（x）kxa=0 至多 1 个实根综上，当a34ln2 时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(
3、1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.【母题原题母题原题 2】2】 【2017【2017 浙江，浙江，7】7】函数 yyf xfx，的导函数的图像如图所示，则函数 yf x的图像3可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x 位于增区间内，因此选 D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧附近连续分布于x轴上下方
4、，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数 fx的正负，得出原函数 f x的单调区间【命题意图】考查导数的概念、导数公式求导法则导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力 【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、
5、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.浙江卷 2018 年作为压轴题，其考查的灵活性可见一斑.【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路：第一步：牢记求导法则，正确求导第一步：牢记求导法则，正确求导. .在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域第二步：研究（第二步：研究（1 1） （2 2）问的关系，注意利用第）问的关系，注意利用第(1)(1)问的结果问的结果. .在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得4上，可以直接用，有些题目不
6、用第(1)问的结果甚至无法解决第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论. .高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚【方法总结】1.导数法证明函数( )f x在( , )a b内的单调性的步骤(1)求( )fx；(2)确认( )fx在( , )a b内的符号；(3)作出结论：( )
7、0fx 时为增函数；( )0fx 时为减函数2.图象法确定函数( )f x在( , )a b内的单调性：导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于 0(小于 0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)3.已知函数单调性，求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解4.求函数 f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)解方程 f(x)0，求出函数
8、定义域内的所有根；(4)列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0处取极小值【温馨提醒】导数值为 0 的点不一定是函数的极值点， “函数在某点的导数值为 0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如yx3)，还要保证该零点为变号零点6.求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；(3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，
9、其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【温馨提醒】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性5(2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值7. 解决含参数问题及不等
10、式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理8.关于最值问题：对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式( )f x（）( )g a（x 是自变量，a是参数）恒成立问题，( )g amax( )f x（min( )f x） ，转化
11、为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.1 【2018 届河北省衡水中学三轮复习系列七】已知函数( 为自然对数的底)，则的大致()= ( + 1)2()图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出导函数，利用导函数判断函数的单调性，根据数形结合，利用零点存在定理判断极值点位置，结合，利用排除法可得结果.(1) 0,(0) 0所以，可排除选项； 1 1，由，可排除选项 ，故选 C.(1)= 4 0令，则在单调递减，() = 1 + 2() = + 12 0()1,因为，所以在上增，在单调递增.(1) = 0 = () ()1,11,= (1) (1) = 0= (
12、1) (1 ),() () = 1,1 1因为，所以在区间上的值域为. 1 1 1 = () ()1,0, 173 【浙江省杭州市学军中学 2018 年 5 月模拟】已知函数，其中.() = +1 + 0, （）若函数在区间上不单调，求 的取值范围；()1, + )（）若函数在区间上有极大值 ，求 的值.()1, + )2 【答案】(1) .1 42)() =1 22= 22 0所以函数在上单调递增，而()(2, + )() = 0所以，所以 = =1 2=1 2当时，函数在由极大值 . =1 2()1, + )2 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值、极值，意在考查学生对这些
13、基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的难点求得极大值，得（*）后，如何求 的值.这里又利() =2 +1 + =2 用了构造函数和求导解答.4 【20 18 届浙江省温州市 9 月一模】已知函数() = 3 4（1）求的单调递增区间；()（2）当时，求证：0 0()（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明2+ 2 3 4() = 3 4 2，从而可得结果.()= (1) = 2试题解析：（1） ，() = 1 +324 =2 4 + 32=( 1)( 3)2令，解得或，() 0 3 0的单调递增区间为和()(0,1)(3, + )（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，() = 3 4(0,1)1,3所以，当时，0 11,2()1+ 2 0即的单调递增区间为，无减区间；()( , + )当时， 0() =1 + = ( + 1 ) + 由，得，() = 0 = +1 ( , + )时， ( , +1 )() 0时， ( +1 , + )() 0()( , +1 )单调递减区间为，( +1 , + )（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，()( , +1 )( +1 , + )不妨设，由条件知，即 ( 1) ( , + )知在区间上单调递减，在区间上单调递增，() = ( ,
