湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考理科数学含解析

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1、- 1 -湖南省郴州市一中高三十二月月考湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学理科数学一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. .1. 已知，若，则（ ）A. 3 B. 2 C. 3 或 2 D. 3 或 1【答案】A【解析】由题，且，当 ，符合题意；当 ，此时，不符合题意.故 故选 A.2. 若复数 的共轭复数是 ，且满足，则复数 在复平面内对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则 复

2、数 在复平面内对应的点为 .选 B .3. 已知命题关于 的方程有实根，则在区间上的 使命题 为真命题的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选 D.4. 已知，则（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故选 B.5. 在中，边所对的角分别为，且，则（ ）A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】 由正弦定理可得故选 D.6. 设各项均为正数的等比数列的前 项和为，且，则（ ）A. 242 B. 162 C. 80 D. 54【答案】B【解析】由题各项均为正数的等比数列， 两式相比，可得（负值舍去） ，代入 故选 D.7. 如图，在中，过点且平行于的直线 与

3、线段交于点 ，记四边形的面积为，则函数的大致图像为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图可知直线 的斜率为 2，设其方程为 由两点式可得 联立方程得 ，由题四边形为梯形， ，其面积结合选项可知选 D8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）- 4 -A. 12 B. 18 C. 120 D. 125【答案】C【解析】第一次运行：为奇数， 第二次运行：为偶数， 第三次运行：为奇数， 第四次运行：为偶数，程序终止运行，输出 故选 C.9. 在中，为斜边上的高，则（ ）A. 6 B. 3 C. -6 D. -3【答案】D【解析】由题意 ，则 又 - 5 -

4、故选 D.10. 已知函数的图像经过点和，当时，方程有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为点在函数图像上， 又点 在函数图像上，当方程有两个不等的实根时，已知函数d 的图像与直线有两个不同，由图像可知 故选 D.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 6 -【解析】 如图，由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为正方形，侧面底面，过底面的中心 作底面的垂线，则该几何体的外接球的球心 在该垂线上，过 作侧面 则垂足 在的高线上，连接 ，则为球的半径，设 则 ，解得 故该几何体的外接球

5、的表面积为 故选 A.12. 双曲线的离心率，右焦点为 ，点 是双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题点 所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为 ，则 所以直线的倾斜角为 则与联立解得 因为双曲线的离心率，- 7 -与联立得 ，故双曲线的方程为.故选 C.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分. .13. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是_【答案】【解析】线性约束体积表示的可行域如图所示，当目标函数与重合时取得最小值 1，当目标函数经过点时

6、母函数取得最大值，故，的取值范围是.即答案为.14. 二项式的展开式中，项的系数是 60，则项的系数是_【答案】-192【解析】展开式的通项是项的系数是得到 。则项的系数是即答案为-192.15. 抛物线上的点 到抛物线的焦点 的距离和到点的距离都等于 5，则抛物线的方程为_【答案】【解析】抛物线的焦点为，则点 到 周的距离为 线段的中点坐标- 8 -为，由 可得 ，抛物线的方程为.即答案为.16. 点分别是函数、图像上的点，若关于原点对称，则称是一对“关联点”.已知，则函数、图像上的“关联点”有_ 对【答案】2【解析】令 表示圆心为 ，半径为 2 的半圆， ，作出这个半圆及其关于原点对称的半

7、圆，在作出函数，由图像可知，满足条件的“关联点”有 2 对.即答案为 2.【点睛】本题主要考查新定义题目，其中正确题意，再利用数形结合的思想是解决本题的关键.三、解答题三、解答题 ：共：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 22/2322/23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .17. 已知是公差不为 0 的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 项和.【答案】

8、 （1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可知，又，解得 即可得出- 9 -（2）由（1）知，所以，可得 ，再利用裂项求和方法即可得出试题解析：（1）设等差数列的公差为，依题意有，即，因为，所以，解得（舍去）或，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，所以 ，所以 .18. 某商场建成后对外出租，租赁付费按年收取，标准为：每一个商铺租赁不超过 1 年收费20 万元，超过 1 年的部分每年收取 15 万元（不足 1 年按 1 年计算）.现甲、乙两人从该商场各自租赁一个商铺，两人的租赁时间都不超过 3 年.设甲、乙租赁时间不超过 1 年的概率分别为 ，

9、；租赁时间 1 年以上且不超过 2 年的概率分别为 ， .甲、乙租赁相互独立.（1）求甲租赁付费为 50 万元的概率；（2）求甲、乙两人租赁付费相同的概率；（3）设甲、乙两人租赁付费之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望.【答案】 （1）；（2）；（3）见解析.- 10 -（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是 20 万元，都是 35 万元，都是 50 万元，分别求出三种情况下的概率，求和即可得到甲、乙两人租赁付费相同的概率；（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和 的可能取值为 40，55，70，85，100.求出各种情况下的概率可得分布列和期望.试题解析：（1）设“甲租赁时间不超

10、过 1 年”为事件 ， “甲租赁时间 1 年以上且不超过 2年”为事件 ， “甲租赁时间为 2 年以上且不超过 3 年”为事件 .由题意知，又事件互斥，所以.所以甲租赁付费为 50 万元的概率是.（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是 20 万元，都是 35 万元，都是 50 万元，则都是 20 万元的概率为：，都是 35 万元的概率为：，都是 50 万元的概率为：，所以，甲、乙两人租赁付费相同的概率是.（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和 的可能取值为 40，55，70，85，100.；.所以 的分布列为：- 11 -所以 的数学期望 .【点睛】本题考查相互独立与互斥事件及对立事

11、件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力19. 已知长方体中， 为的中点， 在棱上，.（1）若异面直线与互相垂直，求的长；（2）当四棱锥的体积为 时，求证：直线平面.【答案】 （1）；（2）见解析.【解析】试题分析：如图，以 为原点，分别以所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.得到相应点和相应向量的坐标，利用空间向量的夹角公式可得的长（2）证明：因为是长方体， 在棱上，所以平面，所以四棱锥的体积，解得.此时 为的中点，所以. 利用空间向量的知识可证得直线平面试题解析：（1）如图，以 为原点，分别以所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角

12、坐标系.则，.设，则，因为，所以，即，解得.所以，当异面直线与互相垂直时，.- 12 -（2）证明：因为是长方体， 在棱上，所以平面，所以四棱锥的体积 ，解得.此时 为的中点，所以.由（1）可知，.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以，因为，所以，因为直线平面，所以直线平面.20. 已知椭圆的离心率为，且截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点 作直线 与椭圆交于另一点，直线 与圆相切于点 .（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线 的方程和圆的半径 .【答案】 （1）；（2）直线 的方程为，圆的半径为.【解析】试题分析：（1）由题意布列方程组求椭圆方程；（2）联立得；联立得，易得，解得.试题解析：（

13、）由题意知，即，由椭圆截直线所得的弦长为，弦在第一象限的端点的坐标为，将代入上式，解得- 13 -.椭圆的方程为.（）由（）知，设，设直线 的方程为，联立，得，；联立，得，且；，解得，.21. 设函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：.【答案】 （1）当，取得极小值；当时，取得极大值；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当时，求导，然后利用求极值的一般步骤即可得到的极值；（2）证明：当时，则证明上述不等式成立，即证明.设，利用导数研究的性质可得.，再令，利用导数研究的性质可得所以，所以，即.- 14 -试题解析：（1）当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.

14、所以，当，取得极小值；当时，取得极大值.（2）证明：当时，所以不等式可变为.要证明上述不等式成立，即证明.设，则，令，得，在上，是减函数；在上，是增函数.所以.令，则，在上，是增函数；在上，是减函数，所以，所以，即，即，由此可知.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分一题计分. .- 15 -22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为.（1）求曲线

15、的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积.【答案】 （1）,；（2）4.【解析】试题分析：（1）由消去参数 ，得，即为曲线的普通方程.由得，结合互化公式可得曲线的直角坐标方程.因为曲线和曲线都是关于 轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，解得三个交点的坐标分别为，即可得到以这三个公共点为顶点的三角形的面积.试题解析：（1）由消去参数 ，得，即为曲线的普通方程.由得，结合互化公式得，即为曲线的直角坐标方程.（2）因为曲线和曲线都是关于 轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，解得三个交点的坐标分别为，所以所求三角形面积.23. 选修 4-5：不等式选讲已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数 的取值范围.【答案】 （1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式即为.利用分类讨论的方法去掉- 16 -绝对值符号，可求其解集；（2），即作出函数的图像，由图像可求方程有三个解时实数 的取值范围.试题解析：（1）不等式即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为.当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2），即.