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1、关于数学归纳法在中学数学理的应用,主讲：郭红如 数学10级2班,一，数学归纳法的基本介绍：,在数学中有许多题目与自然数n有关系，中学数学更是如此，这些题目的证明需要用到递推思想，因为n的个数不确定。 除了递推，我们发现这些问题不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题。 数学归纳法便是能让我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断的方法。,数学归纳法的定义：在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种工具归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它
2、可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法,二，数学归纳法的基本思想与特征：,从特殊到一般；递推思想； 数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式不完全归纳和完全归纳。 归纳法的基本模式：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值 时结论正确； (2) 假设当nk ( ，k ) 时结论正确, 证明当nk1时结论也正确 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都正确,三，数学归纳法在中学数学中的应用技巧,认真用好归纳假设：例3 在一块平地上站有n个人对
3、每个人来说，他到其他人的距离均不相问每人郁有一支水枪当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他最近的人证明，当n为奇数时，其中至少有一人身上是干的 证: n1时，结论显然成立设命题对“n2k一1成立，要证当n2k十1时命题也成立设A与B两人之间的距离在所有的两人间的距离中为最小撤消A，B两人，则由归纳假设知，在剩下的2k一1个人中间，至少有一人C的身上是干的再把A,B两人加进去， 由于AC AB，BC AB,所以A，B两人都不会用水枪去击C，从而C身上仍然是干的所以对一切奇数n命题都成立,在起点上下功夫。正确选取起点和过渡：例6 任意n条直线均能重合成一条直线这个命题是荒谬的，当n2时就不能成立但
4、如果我们忽视了这一点，而采用如下的“证明”，那么就有可能陷于荒谬而难于解脱：当n1时，命题显然成立假设当nk时，命题已经成立那么当nk1时，可以先让其中k条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命题也可成立所以任意n条直线均能重合成一条直线,选取适当的归纳假设形式：我们已经知道，在数学归纳法的基本形式中，归纳假设总是以“假设当nk时，命题成立”的形式出现的其实，这并不是归纳假设的唯一形式在必要的时候，可以将归纳假设中的“nk”改写为“nk”事实上，在对很多问题的证明中，人们就是这么做的，有些人还把采用这种假设形式的数学归纳法称作第二归纳法第二数学归纳法在很多问题的证明中为我们带来方便,四，数学归纳法在中学数学应用题型：,证明有关自然数的等式 证明有关自然数的不等式 证明不等式 在几何中的应用在排列、组合中的应用 在数列中的应用 有关整除的问题,五，数学归纳法的局限：,只能解决与自然数n有关的问题 n的任意性给假设带来一定的难度 中学竞赛题中很少应用到数学归纳法。,谢谢观看,
