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1、1,二次型和对称 矩阵的有定性,第三节,2,一、正定二次型正定矩阵,定义,由定义，可得以下结论：,充分性是显然的；下面用反证法证必要性：,代入二次型，得,3,由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。,4,定理,推论,实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值,全为正。,正定矩阵。,这是因为：,5,解,例1 判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,6,全为正，,因此二次型正定。,7,定理,设矩阵A正定，则,（1）A的主对角元全为正；,证明,8,上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。,定理,9,解,例2 判别二次型,是
2、否正定。,二次型对应的矩阵为,它的顺序主子式为：,因此 A是正定的，,即二次型 f 正定。,10,解,例3 设有实二次型,问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？,f 的矩阵为,顺序主子式为：,解得,11,实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得,实际上，正定二次型的规范形为,即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ，,即存在可逆矩阵C ，使,12,证,因为,于是,13,2、其它有定二次型,定义,如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。,14,显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：,（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；
3、,（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；,（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；,（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；,（5）若A负定，则A的对角元全为负。,注意: 1.最后一条只是必要条件。,2.A的顺序主子式全非负， A也未必是半正定的。,15,例如，设矩阵,显然A的顺序主子式,但对角元有正有负，显然A是不定的。,16,例5,判定下列二次型是否是有定二次型。,解,（1）f 的矩阵为,顺序主子式,所以 f 是负定的。,17,例5,判定下列二次型是否是有定二次型。,解,（2）f 的矩阵为,顺序主子式,所以 f 是不定的。,18,练习：,P222 习题五,19,END,END,20,选用例题,1、,解,C是正定的。,且C是实对称阵，故C是正定矩阵。,21,证,必要性,充分性:,将上述过程逆推,即可得证.,
