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1、1海州高级中学 20132014 学年度第二学期期中考试高二数学（文科）试题一、填空题（本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分.）1函数lnyxx的单调增区间为_2用反证法证明命题“若22ab，则| |ab”时，假设的内容应为_3已知i是虚数单位，复数121,1zi zi ，则12z z的模为_ 4函数1yx的图象在点1(2, )2处的切线方程为_ 5函数2cosyxx在,2 2x 上的最大值为_6. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4；类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为_7已知i是虚数单位，且, a bR，若2 1i
2、abii，则ab_8函数lnyexx的最小值为_9已知i是虚数单位，若复数z满足| 1z ，则|1|zi 的最大值为_10函数32cossin5cos ,yxxx xR的值域为_11 如图是函数( )yf x的导数的图象，下列四个命题,其中正确的命题的序号是_( )f x在 2, 1上是增函数；1x 是( )f x的极小值点；( )f x在 1,2上是增函数，在2,4上是减函数；3x 是( )f x的极小值点. 12. 已知函数322( )3f xxmxnxm在1x 时有极值 0，则mn 13已知3211( )(1)132f xxaxax在区间( 1,1)上是减函数，在区间(2,3)是增函2数
3、，则实数a的取值范围是 14设函数2( )(2) ()xf xxxb e，若2x 是( )f x的一个极大值点，则实数b的取值范围为_ 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分.）15 （本题满分 14 分）已知复数22(56)(3 ) ,zmmmm i（mR，i是虚数单位）.(1) 若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.16 （本题满分 14 分）已知函数32( )f xaxbxcx在2x 处取得极值 4，且其导函数( )yfx的图象经过坐标原点.(1) 求函数( )yf x的解析式；（2）若 3,3x ，求( )yf x的值域.17 （本题满分
4、 14 分）已知复数1(1)(1)zaai，212zai ， （aR，i是虚数单位）.(1）若复数12zz在复平面上对应点落在直线yx上，求实数a的值； (2）若复数1z是实系数一元二次方程20xxm的根，求实数m的值.18 （本题满分 16 分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共 设施建设不能开发，且要求用栅栏隔开(栅栏要求在一直线上)，公共设施边界为曲线2( )1(0)f xaxa 的一部分，栅栏与矩形区域的边界交于点,M N，与曲线切于点P，设( ,( ).P t f t(1) 将OMN (O为坐标原点)的面积S表示成t的函数( )S t；(2)
5、 若在1 2t 处，( )S t取得最小值，求此时a的值及( )S t的最小值319 （本题满分 16 分）设010211( ),( )( ),( )( ),( )( )()x nnfxx ef xfxfxf xfxfx nN .(1）请写出( )nfx的表达式（不需证明） ；(2）求( )nfx的极值；(3）设2( )2(1)88,( )nngxxnxngx 的最大值为a，( )nfx的最小值为b，求ab的最小值.20.（本题满分 16 分）已知函数2( )()()f xxa xb, a b为常数.（1）若ab,求证：函数( )f x存在极大值和极小值；（2）设（1）中( )f x取得极大值
6、，极小值时自变量分别为12,x x，记点 11( , ( )A x f x,22(, ()B xf x,如果直线AB的斜率为1 2,求函数( )f x和( )fx的公共递减区间的长度（闭区间, p q的长度定义为qp） ；（3）若( )( )f xmxfx对于一切xR 恒成立，求实数, ,m a b满足的条件.4数学参考答案一、填空题1.(0,1)或者(0,1 2.| |ab 3.1 4. 440xy 5. 6.1:8 7.-1 8.2 9. 21 10. -4,411. 12.11 13. 21a 14. 2b 一、解答题15(1)复数 z 为纯虚数，则22560,2.30mmmmm得 7
7、分(2)复数 z 对应点在第三象限，则22560,.30mmmm得20；13a当 3at21b 时，由（1）知 x1=b，x2=32ba A（b,0）B 9)(2,322baba21329)(22 bbaba)( 3)(22baba 23ba；当 ab 时，x1=32ba ,x2=b.同理可得 a-b=23(舍去) 36综上 a-b=23. )(xf的减区间为)32,(bab即（b,b+1） ，又( )fx减区间为)21,( b,公共减区间为（b，b+21）,区间长度为21. 10 分（3）由)()(/xmxfxf )2(3)()(2baxbxxmbxax0)()2()31 ()(2abxbabamxmbx若31m，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的 零点左右的符号不同，因此不可能恒非负.31 m 03)2()( abxbabx若 a+2b=0，则ba2 ，ba =0，若02 ba，则 bx 1，baabx232 ，所以20 3 2ab abbabb=0则 a0，b 0 123 baaba 且 b0.综上 31 m，0 ba. 16 分
