《【数学】2014-2015学年高二上学期期中考试（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】2014-2015学年高二上学期期中考试（理）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1.过点(0,2)A倾斜角的余弦值是4 5的直线方程为( B )A3x5y100 B3x4y80 C3x4y100 D3x4y802.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率是2，则该双曲线的渐近线方程是( C )A1 2yx B2 2yx Cyx D2yx 3.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线430xy和 x 轴相切,则该圆的标准方程是( B )A223()(
2、1)42xyB22(2)(1)1xyC22(1)(3)1xy D223()(2)12xy4.已知椭圆22 1102xy mm，长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于( C )A1 B5 C8 D105.如果不等式组0 2 10x yx kxy 表示的平面区域是一个直角三角形，则实数 k 的值为( D )A1 2 B0 C1 2D0 或1 26.若抛物线21 8yx的焦点与双曲线2 2 21yxa的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为 ( A )A B C D22 332327.动点 P 到 A(0，2)的距离比它到 x 轴的距离大 2，则动点 P 的轨迹方程是( D )2A28yx B28
3、yx或0(0)yx C28xy D28xy或0(0)xy8.已知双曲线的两个焦点为 F1(5,0)、F2( 5,0)，P 是此双曲线上的一点，且12PFPF，12| | 2PFPF，则该双曲线的方程是( C )A22 123xy B22 132xy C2 214xy D2 214yx 【解析】设双曲线的方程为22ax22by=1.由题意|PF1|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=2(2 5).又|PF1|PF2|=2，a=2，b=1.故双曲线方程为42xy2=1.9.已知双曲线 C:2 213yx ，直线 l:3()ymxmmR，直线 l 与双曲线 C 有且只有一个公共点，则 m 的
4、所有取值个数是( )AA1 B2 C3 D410.设椭圆22221(0)xyabab 的离心率为1 2e ，右焦点为( 0)F c,，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12( ,)P x x( )BA必在圆229 4xy 上B必在圆229 4xy 内C必在圆229 4xy 外D以上三种情形都有可能11.已知点(0,3)Q及抛物线216yx上一动点00(,)P xy，则0|xPQ的最小值为( )AA1 B2 C4 D512.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，且 AB=2CD，设DAB=，(0,)2，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为1e，以C，D 为焦点且
5、过点 A 的椭圆的离心率为2e，设1( )ef，12( )eeg，则( )f、( )g的大致图像是( )D3【解析】设ADt，1,2CDAB，易知11coscos22tt ，在ABDA中，由余弦定理得2244 cos2BDttt，由双曲线和椭圆的定义知122221, 22ee tttt ，121e e，2 1222 2ett tt ，1 2cost，1( )ef，且(0)2f，故选 D.【另解】设双曲线焦距为22cAB，当0时，1 2AB ，若0，则1 2ABca，又1c ，12e ；当2时，AB ,因而双曲线开口越大，故离心率1e也越趋于,观察( )f的大致图像，只有 D 的才符合.二、填空
6、题：二、填空题：(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分)13.一张坐标纸对折一次后，点(0,4)A与点(8,0)B重叠，则折痕所在直线与两坐标轴围成的面积是_.【答案】9. 提示:可解得对称轴方程为62 xy.14.如果圆22222240xyaxaya与圆224xy总有公共点，则实数a的取值范围是_. 2 2,2 215.已知椭圆 C:2 214xy的焦点为12,F F，若点 P在椭圆上，且满足2 12| |POPFPF(其中 O 为坐标原点)，则称点 P 为“点”，那么该椭圆上“点”的个数是_.416.已知抛物线方程为24yx，过(1,2)A作抛物线的
7、弦AP,AQ.若APAQ，则原点 O到直线PQ距离的最大值为_.【解析】依题意可设2 1 1(,)4yPy，2 2 2(,)4yQy，由 APAQ 知0，可得APAQy1y22(y1y2)200.设 PQ 直线方程为 xmyn, 代入 y24x，结合韦达定理与上式得4n2m5，所以直线方程为 x(y2)m5，知此直线过定点(5, 2)B，此时，原点 O 与点 B 的距离即为所求最大值，|OB|，故选 D29注：此题有一般性结论，即“抛物线22ypx，过( , )A a b作抛物线的弦AP,AQ.若APAQ，则直线PQ过定点(2,)pab”.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个题，共
8、个题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分 10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为33xtyt （为参数） ，曲线C的参数方程为2cos sinx y (为参数).（1）求直线和曲线C的普通方程；（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.【答案】 （1）直线的普通方程为：33 30xy；曲线C的普通方程为：22(2)1xy（2）点P到直线的距离的取值范围是5 35 31,122.18.（本题满分 12 分）若直线的方程为(31)(2)10axa y . （1）求证：无论实数a为何值时，直
9、线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求实数 a 在取值范围.【答案】 （1）经过定点1 3( , )5 5， （2）2a .19.（本题满分 12 分）已知椭圆22221(0)xyabab经过点(0, 3)，离心率为1 2，左右焦点分别为12(,0),( ,0)FcF c.（1）求椭圆的方程；（2）若直线: l1 2yxm 与椭圆交于 A、B 两点，与以12FF为直径的圆交于 C、D 两点，且满足|5 3 |4AB CD，求直线的方程.5【解析】(1)由题设知2223 1 2b c a bac ，解得231abc 椭圆的方程为24x23y1.(2)由题设，以 F1F2为直径的圆的方
10、程为 x2y21，圆心(0，0)到直线 l 的距离 d25m .由 d1，得|m|5 2，(*)|CD|221 d22415m22545m.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由221 2143yxmxy ，得 x2mxm230，x1x2m，x1x2m23，|AB|2 2211432mm15 224m.由AB CD5 3 4，得224 54m m 1，解得 m3 3，满足(*)直线 l 的方程为 y1 2x3 3或 y1 2x3 3.20.（本题满分 12 分）已知抛物线 C 顶点在原点，焦点 F 在 x 轴上，抛物线 C 上的点(1,)m到 F 的距离等于 2.（1）求抛物线 C 的方程
11、；（2）若不与 x 轴垂直的直线1l与抛物线 C 交于 A、B 两点，且线段 AB 的垂直平分线2l恰好过点(4,0)M，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为22ypx，其准线方程为2px ，(1,)m到焦点的距离等于 A 到其准线的距离122.2pp此抛物线的方程为24yx.(2)证明：设线段 AB 中点的坐标为 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 MN 的斜率为，因为 AB 不垂直于 x 轴，所以直线 AB 的斜率为，直线 AB 的方程为 yy0y0x044x0y06(xx0)，联立方程0 00 0 24()4xyyxxyyx
12、消去 x，得4x0y0220 0000(1)(4)04xyy yyx x ,所以 y1y2，因为 N 为 AB 中点，所以12 02yyy ，即0 0 02 4yyx,4y04x0所以 x02，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.另证：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点差法得121212042yy xxyyy，0 200:()2ylyyxx ，将(4,0)M代入 ，得02x .21.（本题满分 12 分）已知点(4,0)C和直线:1l x ，作,PQl垂足为 Q，且(2) (2)0PCPQPCPQ .（1）求点 P 的轨迹方程；（2）过点 C 的直线m与点 P 的轨迹交于两点11
13、(,)M x y,22(,)N xy12(0)x x ，点(1,0)B，若BMN的面积为36 5，求直线m的方程.【解析】(1) 由已知(2) (2)0,PCPQPCPQ 知2240PCPQ .所以2PCPQ 设( , )P x y，代入上式得22(4)21xyx平方整理得22 1.412xy另解：2PCPQ |2|PC PQ 由第二定义知，点 P 的轨迹是以 C 为焦点，为相应准线的双曲线且22cecaa，又焦准距为2 41acc，解得2,4ac.（2）由题意可知设直线m的斜率不为零，且(4,0)C恰为双曲线的右焦点，设直线m的方程为4xty，由22221(31)24360412 4xy tyty xty 若2310t ，则直线m与双曲线只有一个交点，这与120x x 矛盾，故2310t .7由韦达定理可得12212224 31 36 31tyyty yt 2 12121212(4)(4)4 ()16x xtytyt y yt yy2 22362441603131ttttt即2 2 23410313ttt 222212222(24 )4 36 311318 118 136 5221 33131ABCttttSBC yyttt 2221911,4543ttt或211.42tt 故直线的方程为280280xyxy或.
