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1、什么是模型?,数学模型从哪里来,到哪里去?,如何去培养数学建模的自觉性?,什么是数学模型?,你想了解数学建模竞赛吗?,数学建模教程令你耳目一新,本书从若干智力游戏、历史趣题和一些看似简单的实用问题入手，循序渐进地引进数学建模的基本思想和方法。,在简要介绍了规划模型、经济数学模型、生物数学模型等基础数学模型之后，对全国大学生数学建模竞赛的若干典型赛题进行了探讨。,第1章 从实际问题到数学模型 1.1 初识数学模型 1.2 几个历史性问题 1.3 利益博弈 1.4 几项智力游戏 1.5 棋牌中的数学 第2章 基础数学模型 2.1 概率模型 2.2 几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个
2、宇宙速度 2.4 规划模型 2.5 经济数学模型 2.6 生物种群增长的数学模型,数学建模教程,第3章 竞赛题选讲 3.1 基金使用计划 3.2 车灯线光源的优化设计 3.3 锁具装箱 3.4 节水洗衣机问题 3.5 最优捕鱼策略 3.6 艾滋病疗法评价及疗效预测 3.7 长江竞渡,附:全国大学生数学建模竞赛章程,一、历史地看数学,二、从模型的角度看数学,三、数学的严谨性和实用性,序 言,一. 历史地看数学,恩格斯认为，“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。,九章算术是我国古代的经典数学名著。,欧几里得的几何原本是近代数学公理化的楷模。,十七世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们
3、研究运动与变化。,十八世纪，解析几何与微积分创立。,十九世纪开始，概率论、拓扑学、运筹学、系统论、控制论、数理统计学等学科产生并且迅速完善起来。,美国著名数学家R.柯朗指出：“毫无疑问，数学的一切进展都不同程度地植根于实际的需要。但是，一旦数学在实际需要的迫使下被推动了，它自身就不可避免地便获得一种动量，使之超越出直接应用的界限。”,数学的内涵发生了变化，人们很难再去用代数、几何以及空间形式和数量关系这样寥寥的词汇来给数学做出令人信服地描述性定义了。因为数学已经深入研究了数和形以外的太多的东西。,数学是关于抽象模型的科学。,二. 从模型角度看数学,方程是表现等量关系的数学模型,“1”是最简单的
4、数学模型。,“点”、“面”、“线”都是抽象的模型，几何学可以说是研究模型的科学。,非欧几何以及泛函分析、拓扑理论的诞生，几何这种数学模型挣脱了直观和低维的束缚，空间的内涵有了极大的改变。,数学的发展过程，就是不断地构建新的模型、完善模型和从低层次模型过渡到高层次模型的过程。,至少可以说，数学是一门与抽象模型密切相关的科学。,当今和未来的很多数学研究，其对象或许是建立在已有数学模型基础之上的更加抽象化的模型。,自然科学的主要研究对象是物质存在的自然规律,社会科学的主要研究对象的是社会规律和主观意识,当然，自然科学不能脱离社会，社会科学也不能与自然无关。,数学独立于自然科学和社会科学,三. 数学的
5、严谨性和实用性,科学和学说是对客观规律的理论解释.,牛顿是在苹果树下顿悟了万有引力定律，牛顿坚信质量的恒定。,进入上个世纪以后，著名物理学家爱因斯坦推翻了质量不变的神话。,科学研究就是寻求事物的公共特征、探索其公共属性,均衡、知识的通用性和严密性是学科审美的基本依据,数学具有独到的学科美,经验罗列是学科发展的最初级阶段,古罗马建筑的窗户宽长比大多接近0.618,数学最基本的学科特征在于,来源的实践性、,结构的抽象性、,模型的多样性、,推理的精密性、,计算的精确性、,体系的统一性、,应用的广泛性。,把握均衡和追求精确的侧重取向是工程师和学者的主要区别,精确地刻画均衡,很多直感美蕴含着价值因素，美
6、的结论应该立足于价值的精确性,期待数学的介入,首推数学模型,返回,华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之多，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁无一不可用数学来表达。”,任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。,第1章 从实际问题到数学模型 1.1 初识数学模型 1.2 几个历史性问题 1.3 利益博弈 1.4 几项智力游戏 1.5 棋牌中的数学,返回,军队作战室中的沙盘、建筑开发商售楼的立体广告，还有航空模型等等。,1.1 初识数学模型,为了展示微观的分子结构，要把模型做大些。,象棋和军棋是从战争简化而来的，下棋过程可以理解为战争的模型。,社会的
7、经济增长率、人口增长预测对应着公式和图表 。,要是忽略和淡化应用的背景，所遇到的问题就转化成了公式、图表、方程组等等，这样就得到了与实际问题相对应的数学模型。,1.1.1 简化和替代,数学是一门古老的科学，也是生命力极其旺盛的科学。不同学科很多方面的应用问题，经过适当的简化和提炼都归结成了数学。数学的知识和方法无处不在。,数学模型只是事物本质属性的某种替代品。,天气有冷有热，物体可重可轻。创造了温度计和秤，冷热就有了度数，物体就有了重量。,有了度量标准，各方面因素都可以赋予一定的量值。,（以数学的抽象方式来体现事物规律的替代品）,“2+1”是数学模型不同的问题可能得到相同的数学模型,1.1.2
8、 数是抽象模型,分数和小数,有理数与无理数.,虚数 ,1.1.3 两道算术题,设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时间为,例1 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？,（小时）,请注意，狗奔跑的时间恰好等于大孩追赶小孩所需的时间！,例2 大孩和小孩带着一条狗在马路上奔跑。初始时刻小孩在大孩和狗的前面100米，小孩以每分钟20米的速度向前跑，大孩以每分钟30米的速度追赶小孩，狗的速度是每分钟50米。狗和大孩同时开始追赶小孩，它追上小孩后立即折回
9、跑向大孩，与大孩子相遇后返身继续追小孩，。从大孩子开始追小孩到追上小孩的这段时间内，狗一共跑了多少路程？,（米）,1.1.4 弧度制,弧度制是对角大小的另一种度量方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。,1,扇形,相似于扇形,因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。,比如，当扇形的弧长与半径之比为,时，对应的圆心角是直角；,时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）.,当扇形的弧长与半径之比为,弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（名数）。,返回,例1 孙子算经中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,1.2
10、几个历史性问题,如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话，脚就由94只变成了47只。,1.2.1 丢番图问题,每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，,每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数,鸡的数量就是,（只）。,（只）；,例2 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。,解 设大马，小马，马仔分别为,匹，应有,分别消去 和 可得,这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。,可见，问题共有七组解。,都是3的倍数，故可能取值如下。,返回,例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴
11、分桃”的问题。,五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这堆桃子至少要有多少个。,设这堆桃子共有 个，第五只猴子离开之后剩下 个桃子。,第一只猴子连吃带拿，共得到 个桃子；剩下,（个）。,第二只猴子共得到 个桃子；剩下的个数, 第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是,于是，有,，,故必有,是,的倍数且,
12、是,的倍数。,最小的可能是,41020，,最小的可能是,43121。,据周髀算经记载，早在公元前1100年，商高就知道：,1.2 几个历史性问题,1.2.2 勾股定理和费尔马大定理,毕达哥拉斯发现“勾三股四弦五”已经是500年以后的事情了。,“勾广三，股修四，径隅五”。,毕达哥拉斯观察地下铺的方砖,发现,中间的部分是等腰直角三角形。,他猜测，对于一般的直角三角形,应有,是任意正整数）。,和,有否还有正整数解呢？,大约在1637年，费马阅读一本名为丢番图的书，其中第二卷第8个命题说的就是“把一个平方数分成两个平方数之和”的问题。费马信手在数的空白处下这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数、一个
13、 4次方数分成两个 4次方数，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已经发现了一种美妙的证明，可惜这里空白的地方太小，写不下。”,丢番图认真研究后得到了方程,的通解,，,（,，,当自然数,时，方程,法国17世纪的一位业余数学家费马断言：当,任何正整数,都不能满足这个方程。这就是著名的费马大定理。,直到1993年，这一旷世难题被英国数学家安德鲁怀尔斯所破解。稍后他在理查泰勒的协助下终于完成了全部证明，并因此获得菲尔茨特别奖和沃尔夫奖。,在地图上，任何两个相邻的国家应该着上不同的颜。人们发现，每幅地图上不管有多少个国家，只用四种颜色就可以。,1.2.3 四色问题
14、,1970年至1976年，美国伊利诺大学哈肯和阿佩尔合作，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。,这个问题最早是由毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里大约于1852年提出来的。1872年，伦敦数学学会上提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。,1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的海伍德证明了一个较弱的命题五色定理。,四色问题的研究，是小问题引出大模型的实例。计算机参与证明的合法地位也由此得到了认可。,1.2.4 哥尼斯堡七桥,1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。17
15、36年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。,布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。,有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？,哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。,作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点,欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。,现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？,类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。,图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。,
