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1、第7章 轴的强度与刚度设计,扭转 外力：构件为直杆，并在垂直于杆件轴线的平面内作用有力偶（矢量方向沿轴线的力偶）。 变形：杆件各横截面绕轴线作相对转动。 轴：以扭转变形为主要变形的构件。如：电机转轴、钻杆等。 转角：横截面绕轴线的相对角位移。,7-1 扭转时的外力偶矩 扭矩与扭矩图 7-1-1 外力偶矩 外力偶矩用T表示，矢量方向沿轴线， 或直接给定，或由外力向轴线平移得到。 国际单位制中,T的单位为N.m， 对于传递功率的轴，外力偶矩通常给的是功率和转速 设力矩为T，转速为，功率为P 由功率定义：P = T（力偶矩在单位时间内所作之功）， 国际单位制中,T的单位为N.m， 的单位为rad/s
2、(弧度/秒)， 功率的单位为W(瓦)（焦耳/秒） 工程实际中，功率的单位为KW(千瓦)， 转速的单位为r/min（转/分）， 单位转换 1KW=1000N.m, =2n/60，代入有 T=P/=1000 P60/2n=9549P/n(N.m) 即：T = 9549P/n(N.m) 式中，P的单位为KW (千瓦),n的单位为r/min（转/分）。,7-1-2 扭矩与扭矩图,扭矩矢量方向垂直于横截面的内力偶矩。 扭矩符号规定：扭矩矢量与截面外法线方向一致者为正；反之为负（矢量指向离开截面为正，指向截面为负）。 计算时，采用“设正法”。 扭矩的计算方法截面法: 在要求计算扭矩的截面，用一假想截面截开
3、，取其中一部分为研究对象，利用力矩平衡方程求解。 如图计算m-m截面扭矩，从m-m截面截开，取左半部分为研究对象，由平衡条件列方程 Mx=0 Mx-T=0 解得Mx=T 可以取右半部分为研究对象验证。,扭矩图表示扭矩沿杆轴线变化情况的图形。 计算方法与轴力图方法相似： 1.确定分段（集中力偶作用处） 2.写出扭矩方程 3.画扭矩图（线段形状、正负、端值）,例题7-1圆轴上有四个绕轴线转动的外力偶，如图所示。试画出该轴的扭矩图。 解：1.确定分段：根据外力偶情况，分为AB、BC、CD三段； 2.分段计算扭矩 AB段：取左半段 Mx=0 Mx1+315=0 BC段：取左半段 Mx=0 Mx2+31
4、5+315=0 CD段：取右半段 Mx=0 -Mx3+486=0 解得： Mx1=-315N.m Mx2=-630 N.m Mx3=486N.m 3.画扭矩图 各段均为水平直线 注明端值、正负、单位,7-2 切应力互等定理 剪切胡克定律,7-2-1切应力互等定理 考察图（a）所示微元，ABCD面为对应圆轴横截面，面上切应力为，合力为dydz 。 考虑微体的平衡：对应截面切应力也应为，方向相反，二力组成一个力偶 力偶矩为dydzdx。 设上下截面切应力为，也组成一个力偶，力偶矩为dydxdz。 由力偶平衡条件M=0 ，有：dydxdz-dydzdx=0 解得 = 在微体的两个互垂截面上，垂直于截
5、面交线（即微体棱边）的切应力数值相等，其方向均指向或均背离该交线。此关系称为切应力互等定理。,7-2-2 剪切胡克定律,切应变微体在切应力作用下，互垂侧边所夹直角的改变量，用表示 。 在弹性范围内加载，即切应力在比例极限内，切应力和切应变成正比关系。有 =G 称为剪切胡克定律 G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量。 G的量纲与切应力相同，其值与材料性质有关，钢材G=8084GPa.,7-3 圆轴扭转时的应力、变形计算,7-3-1 变形特点 受扭前，在圆轴表面用互相平行的圆周线和纵向线划分成许多小矩形格； 受扭后，矩形格变成了平行四边形，纵向线段不发生伸长或缩短，圆周线保持不变。 1.平面假
6、定：横截面变形前为平面，变形后仍保持平面，只是绕轴线转过一个角度。 2.变形后，相邻横截面间的距离不变。 各同轴圆柱面转过角度相同，但切应变不同。 切应变与圆柱表面到轴心的距离（半径）成正比。 横截面上只有切应力，与半径成正比； 没有正应力。,用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向截面从轴中切取一楔形体，轴表层的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，距轴线处的矩形abcd变为abcd，均产生剪切变形。 d相同， 不相同。 设距轴线处的所切楔体左右两横截面相对转角即扭转角为d，矩形abcd的剪应变为（），则由图看出 （）tg （） =cc/ac= d/dx 即（）= d/dx d/dx代表
7、扭转角沿杆轴的变化率。对同一横截面，为一常数， 可见（）与成正比变形的几何关系 7-3-2 切应力分布特点 将胡克定律=G代入，得到距轴线为处的切应力为 （ ）= G（）= G d/dx 物理关系 对一个截面，G、 d/dx是常量，与成正比。,7-3-3 切应力计算公式 考察距截面中心处的微元d，其面积为dA，作用在微元上的力为（ ）dA，对中心之矩为（）dA）。将截面上所有微元上的力对中心之矩积分，即为该截面的扭矩Mx， 即A （）dA= Mx 静力学关系 将（）= G d/dx 代入，得到 A G d/dx 2 dA= Mx 将G d/dx提出，得到 G d/dx A 2 dA= Mx 令
8、IP=A 2 dA, d/dx = Mx / GA2 dA 得到 d/dx = Mx /GIP 计算变形的基本公式 代入到（）= G d/dx得 （）= Mx/IP 切应力计算公式,公式适用条件：圆截面轴，应力在剪切比例极限内 分析横截面上切应力分布特点： 1.横截面上各点的切应力与该点到轴线的距离成正比，同一半径上各点的切应力相等，横截面外沿处切应力最大，中心处切应力为零； 2.横截面上各点的切应力垂直于该点所在的半径方向。 3.切应力方向由“ dA对轴线之矩的方向与该截面上的扭矩方向一致”确定,IP =A 2 dA为与圆轴截面尺寸有关的量，称为极惯性矩。 直径为d的实心圆轴: IP =d4
9、 /32 内径为d，外径为D的空心圆轴: IP =D4 (1-4）/32 ， =d/D,最大切应力 横截面上最大切应力在横截面边缘处， max= Mx R / IP= Mx /(IP/ R) 令WP= IP/ R得到 max= Mx / WP WP是与截面尺寸有关的量，称为圆截面的扭转截面系数 直径为d的实心圆轴: WP = IP/(d/2) =d3 /16 内径为d，外径为D的空心圆轴: WP =D3 (1-4）/16,7-3-4 相对扭转角计算公式,由d/dx=Mx/GIP得到相邻截面的相对扭转角为 d=Mxdx/GIP 两端积分0 d=0l Mxdx/GIP 如果在长度l内，扭矩和截面尺
10、寸为常量，积分得到 =Mx l /GIP 如果在长度l内，扭矩和截面尺寸不为常量，则需分段计算，然后进行代数叠加，得到 =Mxi li /GIPi,7-4 剪切时材料的力学性能,低碳钢扭转试验:经历线弹性、屈服和破坏三个主要阶段，有屈服应力s和强度极限b，最后沿横截面被剪断。 铸铁受扭时，变形始终很小，没有明显的线弹性阶段和屈服阶段，只有强度极限b，最后在与轴线约成45倾角的螺旋面发生断裂。,7-5 圆轴扭转时的强度与刚度设计,7-5-1强度设计 强度条件max=（ Mx / WP） max 对等截面轴有 max= Mx max / WP 脆性材料= b/ n b 韧性材料= s/ n s 与
11、关系： 脆性材料= 韧性材料=(0.50.577),7-5-2刚度设计 刚度条件： =/ l = Mx /GIP ， 工作时单位长度上的最大相对扭转角，单位为rad/m， 为单位长度上的相对许用扭转角， 单位为（）/m， 的数值与轴的工作条件有关: 精密机械的轴，=0.250.5 （）/m； 一般传动轴， =0.51.0 （）/m； 刚度要求不高的轴， =2（）/m。 Mx/GIP 计算时注意两端单位统一： 采用rad/m，右边乘以/180, 采用（）/m，左边乘以180/。,应用强度条件和刚度条件，解决三方面问题： 1.校核强度：（ Mx / WP）max ； Mx/GIP 2.确定许用载荷
12、：Mx max WP； Mx GIP 3.确定截面尺寸：WP Mx max / ； IP Mx max /G ，确定轴的直径 若同时提出强度要求和刚度要求，一般由强度条件计算，再由刚度条件进行校核,例题7-2在图示传动机构中，水平E轴的转速n1=120r/min，从B轮上输入功率P=14KW，此功率的一半通过锥形齿轮传给铅垂C轴，另一半传给水平H轴。若锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36和z3=12，各轴直径分别为d1=70mm，d2=50mm，d3=35mm。轴为钢制， =29.4MPa。试校核各轴强度。,解：1.计算各轴所受外力偶矩和扭矩 已知各轴传递功率分别为 P1=14KW， P2=P3
13、=14/2=7KW， 各轴转速为n1=n2=120r/min，n3=n1z1/z3=12036/12=360r/min 由T=9549P/n得到各轴所受外力偶矩， 各轴扭矩与所受外力偶矩相等，分别为 E轴：Mx1=T1=9549P1/n1 =954914/120=1114N.m H轴：Mx2=T2=9549P2/n2 =95497/120=557N.m C轴：Mx3=T3=9549P3/n3 =95497/360=185.7N.m,2.强度校核 对C轴： 3max= Mx 3 / WP3=16185.7103 /353=22MPa =29.4MPa 对H轴： 2max= Mx 2 / WP2=
14、16557103 /503=22.7MPa =29.4MPa 对E轴： 1max= Mx1 / WP1=161114103 /703=16.6MPa =29.4MPa 三根轴均符合强度要求 3.可以先判断危险状态，然后再对危险轴进行校核 根据max= Mx max / WP=16Mx max /d3 分析比较各轴应力 比较E、C二轴： Mx1/Mx3=1114/185.7=6， WP1/ WP3= d13/d33 = (2d3)3/d33=8 1max/3max = Mx1 max WP3 = / Mx3 max WP1 = 6/8 =0.75 C轴比E轴危险； 比较E、H二轴： Mx1/Mx
15、2=2，WP1/ WP2= d13/d23 = (1.4d2) 3/d23=2.74 1max /2max =2/2.74=0.73 H轴比E轴危险，校核C轴和H轴,例题7-2实心轴与空心轴通过牙嵌离合器相联，已知转速n=100r/min，传递功率p=7.5KW，材料=39.3MPa。实心轴直径为d1，空心轴内外径之比d2/D2=0.5， 求：1.由强度条件确定d1，D2； 2.实心轴与空心轴横截面面积之比。,解：1.因两轴转速相等，传递功率也相等，所以扭矩相等： Mx=T=9549P/n=95497.5/100=716.2N.m 由强度条件max= Mx / WP， 对实心轴:WP=d13 /16 代入得到 d1316 Mx / = 316716.2 103 / 39.3=45.3mm 对空心圆轴: WP =D23 (1-4）/16 代入得到 D2316 Mx / (1-4） = 316716.2 103 / (1-0.54）39.3 =46.3mm 2.实心轴与空心轴横截面面积之比 A1/A2= d12/D22(1-2) = d12/D22(1-2) =45.32/46.32(1-0.52)=1.28 承受相同的载荷，空心轴比实心轴面积小。,
