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1、第五章5.6二叉树定价模型介绍Date1陕西科技大学理学院一个简单的二叉树模型 股票的现价为 $20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18Stock Price = $22Stock Price = $18Stock price = $20Date2陕西科技大学理学院Stock Price = $22 Option Price = $1Stock Price = $18 Option Price = $0Stock price = $20 Option Price=?一份看涨期权一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格 为$ 21. Date3陕西科技大学理学院 考虑一个资产
2、组合:持有 D 份股票成为一份看涨期权的空头 当 22D 1 = 18D or D = 0.25，资产 组合是无风险的22D 118D构造无风险资产组合Date4陕西科技大学理学院资产组合的估值 ( 无风险利率为 12% ) 无风险组合为: 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 三个月后组合的价值为 220.25 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e 0.120.25 = 4.3670Date5陕西科技大学理学院期权的估值 资产组合为 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.2520 ) 从而，期权的价
3、格为 0.633 (= 5.000 4.367 )Date6陕西科技大学理学院推广到一般情形 一个依赖于股票的衍生证券，到期时间 为 TSuuSddS Date7陕西科技大学理学院推广到一般情形 (continued) 考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头 当 D满足下面的条件时，组合为无风险：SuD u = Sd D d orSuD uSdD dDate8陕西科技大学理学院推广到一般情形 (continued) 组合在时刻 T的价值为 Su D u 组合在时刻0的价值为(Su D u )erT 组合在时刻0 的价值又可以表达 为 S D f 从而 = S D (Su D u )
4、erT Date9陕西科技大学理学院推广到一般情形 (continued) 于是，我们得到 = p u + (1 p )d erT其中 Date10陕西科技大学理学院Risk-Neutral Valuation = p u + (1 p )d e-rT 变量 p和 (1 p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风 险中性概率 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值SuuSddS p(1 p )Date11陕西科技大学理学院最初例子的修正 由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523 或者，我们可以利用公式Su = 22
5、u = 1Sd = 18d = 0Sp(1 p )Date12陕西科技大学理学院期权的估值期权的价值为e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22u = 1Sd = 18d = 0S 0.65230.3477Date13陕西科技大学理学院两步二叉树模型 每步长为3个月20221824.219.816.2Date14陕西科技大学理学院欧式看涨期权的估值 在节点 B的价值 = e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257 在节点 A的价值 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770)= 1.2823
6、20 1.2823221824.2 3.219.8 0.016.2 0.02.02570.0ABCDEFDate15陕西科技大学理学院一个看跌期权的例子：X5250 4.1923604072 048 432 201.41479.4636ABCDEFDate16陕西科技大学理学院美式期权该如何估值？50 5.0894604072 048 432 201.414712.0ABCDEFDate17陕西科技大学理学院1 二叉树期权定价模型1.1 二叉树模型的基本方法 熟悉1.2 基本二叉树方法的扩展 熟悉1.3 构造树图的其他方法和思路 了解1.4 二叉树定价模型的深入理解 熟悉2 蒙特卡罗模拟2.1
7、 蒙特卡罗模拟的基本过程 熟悉2.2 蒙特卡罗模拟的技术实现 熟悉2.3 减少方差的技巧 了解2.4 蒙特卡罗模拟的理解和应用 了解3 有限差分方法3.1 隐性有限差分法 熟悉3.2 显性有限差分法 熟悉3.3 有限差分方法的比较分析和改进 了解3.4 有限差分方法的应用 了解5.6 二叉树定价模型Date18陕西科技大学理学院1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ； 2、下降到原先的 倍，即 。图5.1 时间内资产价格的变动把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔 内证券 价格只有两种运动的可能：其中 .如图5.1所示。价格上升的概率假设为 ，下降的概率假设为。相应地
8、，期权价值也会有所不同，分 别为 和 。1.二叉树期权定价模型Date19陕西科技大学理学院二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 1.二叉树期权定价模型Date20陕西科技大学理学院二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型 1.无套利定价法2.风险中性定价法 3.风险中性定价法（二）证券价格的树型结构 4.证券价格的树型结构 （三）倒推定价法 5. 倒推定价法二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程1.1二叉树模型的基本方法Date21陕西科技大学理学院构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 则组合为无风险组
9、合此时 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将 代入上式就可得到：其中 1.1二叉树模型的基本方法无套利定价法：Date22陕西科技大学理学院在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值 满足条件：假设证券价格遵循几何布朗运动，则：再设定： （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 Rubinstein所用的条件） 由以上三式可得，当 很小时：从而 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。1.1二叉树模型的基本方法Date23陕西科技大学理学院一般而言，在 时
10、刻，证券价格有 种可能，它们可用符号表示为：其中注意：由于 ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 1.1二叉树模型的基本方法Date24陕西科技大学理学院得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推 定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时 间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻 提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其 中较大者作为本结点的期权价值。 1.1二叉树模型的基本方法Date25陕西科技大学理学院假
11、设把一期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 表示结点 处的证券价格可得： 其中 假定期权不被提前执行， 后，则：（表示在时间 时第j个结点处的欧式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：1.1二叉树模型的基本方法Date26陕西科技大学理学院1.2基本二叉树方法的扩展Date27陕西科技大学理学院当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的 增长率应该为 ， 因此：1.2基本二叉树方法的扩展对于股价指数期权来说， 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说， 为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。Date28陕西科技大学理学院支付已知红利
12、率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价）可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为 ：若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证券价格为：（ 为0时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率）1.2基本二叉树方法的扩展Date29陕西科技大学理学院将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期 内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：当 时当 时（表示红利 ） 在 时刻： 当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为 ：（ 为零时刻的 值）1.2基本二叉树方法的扩展已知红利额Date30陕西科技
