电路第12章 电路方程的矩阵形式

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1、南京理工大学自动化学院电 路 第第1212章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式12.12.1 1 电路的图电路的图12.12.2 2 回路、树、割集回路、树、割集12.12.3 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.4 12.4 矩阵矩阵A A、B Bf f、Q Qf f之间的关系之间的关系目目 录录南京理工大学自动化学院电 路 12.12.1 1 电路的图电路的图图的概念图的概念图（线图）图（线图）：以以GG表示支路，节点分属不同的集合表示支路，节点分属不同的集合有向图有向图：标出支路电压，电流参考方向的图标出支路电压，电流参考方向的图 连通图连通图：任意两

2、个节点间至少存在一条由支路构成的路径任意两个节点间至少存在一条由支路构成的路径 子图子图：若图若图G1G1中所有支路和节点都属于图中所有支路和节点都属于图GG，就把就把G1G1称为称为GG的子图的子图 南京理工大学自动化学院电 路 12.12.1 1 电路的图电路的图如图如图( (b)b)、(c)(c)、(d)(d)、(e)(e)所示的图都是图所示的图都是图( (a)a)所示图所示图GG的子图的子图 .(a)(a).(b)(b). (c)(c).(d)(d).(e)(e)南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集回路回路：在图在图GG中的任一闭合路径称为一个回

3、路，但每一个中的任一闭合路径称为一个回路，但每一个节点上仅有两条支路相连节点上仅有两条支路相连例例：.图图GG.回路回路.回路回路.非回路非回路南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集树：树：在连通图在连通图GG中，把所有的节点连通起来，但不包含中，把所有的节点连通起来，但不包含任一闭合路径的部分线图称为该图的一棵树任一闭合路径的部分线图称为该图的一棵树 1. 1. 含所有节点含所有节点2. 2. 不具有回路不具有回路3. 3. 连通的连通的4. 4. 为为GG的子图的子图南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集.1 12

4、 23 34 45 56 6图图GG树树.1 12 23 34 45 56 6未含未含所有节点所有节点不是树不是树.2 23 34 45 56 6南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集出现回路出现回路不是树不是树不是连通图不是连通图不是树不是树不是图不是图GG子图子图不是树不是树.1 12 23 34 45 56 6.1 12 23 34 45 56 6.1 12 23 34 45 56 6南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集树支：树支：属于一棵树的支路称为该树的树支属于一棵树的支路称为该树的树支 树支数树支数 =

5、= n n - 1 = - 1 = 独立节点数独立节点数 连支：连支：不不属于一棵树的支路称为该树的连支属于一棵树的支路称为该树的连支 连支的集合称为余树、补树连支的集合称为余树、补树 树支数树支数 = = b b ( (n n 1) = 1) = 独立回路数独立回路数 南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集基本回路：基本回路：在连通图在连通图GG中选取一棵树后，由一条连支及中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支构成的回路称为该树的基本回路（单连支回路）相应的树支构成的回路称为该树的基本回路（单连支回路） 基本回路数基本回路数= =连支数连支数基本回路的基

6、本回路的KVLKVL方程互相独立方程互相独立 不同的树对应不同的基本回路不同的树对应不同的基本回路 南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集割集：割集：图图GG中所有被切割支路的集合同时满足下列两个中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集：条件时称为割集：1. 1. 移去所有被切割支路时原图成为两个分离部分移去所有被切割支路时原图成为两个分离部分 注意：注意：每一条支路只能被切割一次每一条支路只能被切割一次 2. 2. 留下任意被切割支路时，原图依然连通留下任意被切割支路时，原图依然连通 南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、

7、割集回路、树、割集割集意义下的割集意义下的KCLKCL方程：方程： , , 穿入割集时取穿入割集时取”-”-”，否则取否则取”+” ”+” .i6i4i2i3i5i1南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集基本割集：基本割集：在连通图在连通图GG中选取一棵树后，由一条树支及中选取一棵树后，由一条树支及相应的连支构成的割集称为该树的基本割集相应的连支构成的割集称为该树的基本割集 基本割集数基本割集数= =树支数树支数= =独立节点数独立节点数 基本割集的基本割集的KCLKCL方程互相独立方程互相独立 不同的树对应不同的基本割集不同的树对应不同的基本割集 南京理

8、工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集若选支路若选支路2 2、3 3、5 5为树支，则基本割集组为为树支，则基本割集组为Q Q1 1(1(1、2 2、4)4)，Q Q2 2(4(4、5 5、6)6)和和Q Q3 3(1(1、3 3、6) 6) .1 12 23 34 45 56 6Q Q1 1Q Q3 3Q Q2 2南京理工大学自动化学院电 路 12.212.2 回路、树、割集回路、树、割集若选支路若选支路2 2、3 3、4 4为树支，则基本割集组为为树支，则基本割集组为Q Q1 1(1(1、3 3、6)6)，Q Q2 2(1(1、2 2、5 5、6)6)和和Q

9、 Q3 3(4(4、5 5、6) 6) .1 12 23 34 45 5 6 6Q Q1 1Q Q3 3Q Q2 2南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关关 联联 矩矩 阵阵A Aa ai i=0 =0 支路电流列向量支路电流列向量 关联矩阵关联矩阵, , 反映支路与节点的关联关系反映支路与节点的关联关系 AiAi=0 =0 支路电流列向量支路电流列向量 降阶关联矩阵降阶关联矩阵表明支路表明支路k k与节点与节点j j关联关联，且，且离开离开节点节点j j 表明支路表明支路k k与节点与节点j j关联关联，且，且指向指向节点节

10、点j j 表明支路表明支路k k与节点与节点j j非关联非关联南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵回回 路路 矩矩 阵阵BUBU=0 =0 支路电压列向量支路电压列向量 独立回路矩阵独立回路矩阵, , 反映支路与独立回路的关联关系反映支路与独立回路的关联关系 表明支路表明支路k k与回路与回路j j关联关联，且方向，且方向一致一致 表明支路表明支路k k与回路与回路j j关联关联，且方向，且方向不一致不一致 表明支路表明支路k k与回路与回路j j非关联非关联独立回路矩阵独立回路矩阵南京理工大学自动化学院电 路 12.312.

11、3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵回回 路路 矩矩 阵阵基本回路矩阵基本回路矩阵: : B Bf f将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列 将连支对应的列号取为基本回路号将连支对应的列号取为基本回路号 取连支方向作为基本回路方向取连支方向作为基本回路方向 约定：约定：南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵举例：举例：支路支路1 1、3 3、4 4为连支，支路为连支，支路2 2、5 5、6 6为树支，为树支，则基本回路如下则基本回路如下 图图GG.1 12 2

12、3 34 45 5 6 6.2 24 45 5IIIIII.1 12 25 5 6 6I I.3 35 5 6 6IIII南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵连支：连支：1 1、3 3、4 4，树支：，树支：2 2、5 5、6 6，基本回路矩阵为：，基本回路矩阵为： ( (标准形式标准形式) )南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵割割 集集 矩矩 阵阵独立割集矩阵独立割集矩阵.1 12 23 34 45 5 6 6 Q Q3 3Q Q2 2Q Q1 1南京理工

13、大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵割割 集集 矩矩 阵阵独立割集矩阵独立割集矩阵1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵割割 集集 矩矩 阵阵独立割集矩阵独立割集矩阵QiQi=0 =0 支路电流列向量支路电流列向量 独立割集矩阵独立割集矩阵, ,反映支路与独立割集的关联关系反映支路与独立割集的关联关系 表明支路表明支路k k与割集与割集j j关联关联，且方向，且方向一致一致 表明支路表明支路k k与割集与割集j j关联关联，且

14、方向，且方向不一致不一致 表明支路表明支路k k与割集与割集j j非关联非关联南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵割割 集集 矩矩 阵阵基本割集矩阵基本割集矩阵: : Q Qf f将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列 将树支对应的列号取为基本割集号将树支对应的列号取为基本割集号 取树支方向作为基本割集方向取树支方向作为基本割集方向 约定：约定：南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵举例：举例：支路支路1 1、3 3

15、、4 4为连支，支路为连支，支路2 2、5 5、6 6为树支，为树支，则基本割集如下则基本割集如下 .1 12 23 34 45 5 6 6Q Q1 1Q Q3 3Q Q2 2南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵连支：连支：1 1、3 3、4 4，树支：，树支：2 2、5 5、6 6，基本回路矩阵为：，基本回路矩阵为： ( (标准形式标准形式) )南京理工大学自动化学院电 路 12.312.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵，可以看出对于比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵，可以看出对于同一个有向图，选取同一棵树，当连支分块和树支分块中同一个有向图，选取同一棵树，当连支分块和树支分块中，各支路左右顺序不变时，则有：各支路左右顺序不变时，则有：