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1、第六章第六章 二次型及其标准型二次型及其标准型6.3 6.3 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示6.1 二次型及其标准形引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下图称为n维(或n元)的二次型.定义定义 含有n个变量 的二次齐次函数关于二次型的讨论永远约定约定在实数范围内进行！例如：都是二次型。不是二次型。取则则（1）式可以表示为二次型用和号表示令则其中 为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3
2、、的系数的一半分给可保证例如：二次型注：二次型 对称矩阵把对称矩阵 称为二次型 的矩阵也把二次型 称为对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩称为二次型 的秩二次型定义2：例1写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。解问问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?定义定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在 中取值的标准形(注注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。)称为二次型的规范形。目的：目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。第六章第六章 二次型及其标准型二次
3、型及其标准型6.3 6.3 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示简记设若一、 非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。 当C 是可逆矩阵时, 称对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为什么研究可逆 的变换？即经过可逆线性变换可化为矩阵的合同：证明定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1) 反身性(2) 对称性(3) 传递性记作二. 化二次型为标准形1. 正交变换法（重点） 2.
4、配方法目标：问题转化为：回忆：此结论用于二次型所以，主轴定理主轴定理(P191 定理6.2.1)P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型 f 的矩阵(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量而它们所对应的标准正交的特征向量为(3) 写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即（4） 写出的标准型。易知经上述正交变换后所得二次型的标准型2.解 二次型的矩阵为3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换 X=QY，则注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线（
5、曲面）的几何形状不变。2. 配方法 同时含有平方项与交叉项的情形。例例2 2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为即为标准形,并求出所作的可逆线性变换.例3 用配方法化二次型解 令 只含交叉项的情形。即令则二次型的标准形为则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为以上说明：注意：2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.定理定理 二次型必可化为规范形。证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换则 f 化为思考：在可互化的二次型 中最
6、简单的是什么？在对 称矩阵合同等价类中最简 单的矩阵是什么？思考并回答思考并回答(1) 二次型的标准形唯一吗？(2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？思考题：1、(1) 合同且相似；(2) 合同但不相似；(3) 不合同但相似； (4) 不合同且不相似；例4设二次型经正交变换 化为标准形求 (1) a , b ; (2) 正交变换矩阵 Q .解解 二次
7、型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得 ，从而解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵第六章第六章 二次型及其标准型二次型及其标准型6.3 6.3 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示6.3 正定二次型本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型.在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy可以互化，即则称这两个二次型等价。这相当于即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价
8、类。什么条件决定两个二次型等价？我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价.例如 与 不可能等价. 因为不存在可逆矩阵 C 满足因为惯性定理惯性定理( P196 定理6.3.1 )在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则负惯性指为 r p . f 的规范形为惯性定理指出惯性定理指出：两个二次型
9、是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。从而对称阵的合同等价.如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义定义化标准形化规范形正定二次型为正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。矩阵合同的对称矩阵。显然，如果 f 负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。定理定理二次型二次型 f f( (x x) = ) = x xT TAxAx 正定的充要条件是对任意正定的充
10、要条件是对任意x x00，都有都有 f f( (x x) = ) = x xT TAxAx 0 0. (注：书上以后者为定义)证 设必要性：设 f 正定，即对任意x0，则 ，故充分性：反证。如果有某个 ，取, 与 矛盾。定理定理( 霍尔维茨定理 )对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f 的矩阵为解是正定二次型？解 二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例2 问t 满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。判别二次型的正定性.例3解二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别 为正定.例4解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值例5与矩阵 合同的矩阵是( )A特征值是两正一负。例6为A的最大特征值。证明：二次型 f(x) = xTAx 在 时的最大值例7设 是正定矩阵, 证明
