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1、6 最佳组队方案最佳组队方案 摘要摘要:本文以队员的能力及队员间的配合为主线,利用概率统计中的数学期望、方差等，对每个队员在所有队员中的水平高低用标准分来衡量，使得每个队员的综合能力的比较更科学化、合理化。并对每个组建的队伍进行一个综合能力的比较，并把他们的能力作一个均衡性比较，得出整体最优的组队方案。关键词：关键词：数学期望;方差;标准分;专项指标1 1 问题的提出问题的提出在一年一度的全国大学生数学建模竞赛中,我校将组队去参加,而参赛队员是集训队员 中选出的，现有 20 名集训队员准备参加竞赛,根据队员的能力和水平要 选出 18 名优秀队员分别组成 6 个队(每个队 3 名队员)去参加比赛
2、,选拔队员主要 考虑的条件依次为有关学科的成绩、智力水平(反映思维能力、分析问题很解决问 题的能力等)、动手能力(计算机的使用和其它方面实际操作能力)、写作能力、外语能力、 协作能力(团结协作能力)和其它特长,每个队员基本条件量化后如表 1. 表 1 队员基本条件量化数据表条件队 员科学水平智力水平动手能力写作能力外语能力协作能力其它特长A8.69.08.28.07.99.56B8.28.88.16.57.79.12C8.08.68.58.59.29.68D8.68.98.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.99.09.06G9.29.69.0
3、7.29.19.29H7.08.09.86.28.79.76I7.78.28.46.59.59.35J8.38.18.66.98.59.44K9.08.28.7.89.09.55L9.69.18.19.98.79.76M.59.68.38.19.09.37N8.68.38.28.19.09.05O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.48.49.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28S7.88.19.67.69.09.69T9.08.89.57.97.79.06现在的问题是： 1、 在 20 名队员中选择 18 名优秀队员参
4、加竞赛； 2、 确定一个最佳的组队方案；第一期（2002 年 10 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.17 3、 给出由 18 名队员组成 6 个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最高，并给出每个队的 竞赛技术水平. 2 2符号约定符号约定项指标的能力；个队员的第第基本条件数；队员的人数；jimnji,. Ti,能力的一个排列所有组建的队伍的综合之和；队的各队员的综合能力第个队员的综合能力；第水平高低的指标；项指标在所有队员中的个队员的第第望；项指标的能力的数学期所有队员的第；项指标能力的一个排列所有队员的第TiiPjitjEjijijj 3 3模型的建立、求解及结果分析模型的建立、求解及
5、结果分析 3.13.1 第一个问题的解答第一个问题的解答 a) 问题的分析 对于第一个问，要在 20 名队员中选择 18 名优秀队员参加竞赛，这里所说优秀的概念 是指这些队员的综合能力水平（即是指反映题目所给的七种能力的一个综合指标）较高。 我们就是要从这些队员中选取一些综合能力水利最高的队员参赛。这里就涉及到各种能力 的综合体现，各项指标的能力轻重是一样的,故我们要从概率的方面处理它，要把各个队员 的各个方面的能力水平与所有的队员的相应方面的能力联系起来，从而得出反映各项能力 的综合指标。 b) 分析步骤 所有队员的第 j 项指标的数学期望为：nEEnijinijij1,1, 而其根方差为：
6、 2 ,jjijjEED以上只是求出了各个项目中所有队员能力的偏离程度，并未反映到具体的个人上，故 我们构造以下式子,它可以完全反映这一特性的指标. c)c) 构造反映此问题的函数反映第 i 个队员的第 j 项能力在所有队员中水平高低的指标（相当于标准分）：500100, ,jjji jiEt反映第 i 个队员的综合能力水平的指标（7 项指标标准分的平均数）：mt Pmijii 1,8 我们就可以根据以上指标公式，得出 n 个队员的综合能力水平的指标,nPPP,21然后,我们对这 n 个队员的各个指标进行比,，选出一些最优秀(即综合指标最高)的队员去 参加比赛. d)d) 具体问题的求解及结果
7、分析具体问题的求解及结果分析 我们可以用 Matlab 计算出这所有 20 个队员的综合指标，如下表：队员号1234567综合能力481.3517380.3860528.7071581.4350496.4771499.4327561.5119队员号891011121314综合能力465.4197447.2319436.2650479.8503565.2166549.8685453.5127队员号151617181920综合能力515.3737519.7910505.0710524.3241527.5385481.2356 以上数据是衡量各个队员的综合素质的指标,从中我们可以知道队员为 2、10
8、 这两个队员能 力最差,故我们把这两个队员淘汰出来,故我们在这所有的队员中选择第 1、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20 的队员参加竞赛. 对以下两个问题的讨论,我们需要对原来已有的数据进行一些变动：n(为筛选出来的队员数,而 这里 n=18),我们对上一个问题筛选出来的队员进行重新排序得出新的队员名单次序，并按照新的次序对第 i 个队员的第 j 项指标的能力进行重新赋值.则原来的队员好变化了,ji,如下表：新队 员号123456789原队 员号ACDEFGHIK新队 员号101112131415161718原队 员号LMNOPQRST而以后
9、我们对以下问题的讨论,均以新队员号来计算. 3.23.2 第二个问题的解答第二个问题的解答 a)a) 问题的分析 第二个问题是要求从上问筛选出来的 n 个队员中再次挑选出 3 个队员组成一个最优秀 的队伍,我们在这个问题的讨论中假设已经选出了一支最优秀的队伍,队员号分别是:.,321iiib) 分析步骤 这个队的这支队中的第 j 项指标的数学期望为:331,31,kjikjijkkEE 反映第 j 项指标中三个队员的能力偏离程度（方差）为：2 ,jjijEED k第一期（2002 年 10 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.19 而其根方差为： jjD反映第个队员的第 j 项能力在整个队
10、中水平高低的指标（相当于标准分）：ki500100, ,jjji jiEtkk反映第个队员的综合能力水平的指标（m 项指标标准分的平均数）：kimt Pnjjiik 1,c) 构造反映问题的函数 反映整个队的综合能力水平的量是：27009003900/31 1321321 ki iii iiikPPPPPPPEf反映整个队里各个队员的专长特点的量是：mD DEfmjjmjj 112 d) 建立数学模型 于是，我们就可以得出求解此问题的一个双目标规划数学模型（）：31, 2 , 1,i . .2700max3211 231 1kniiitsmD fP fkmjjkike)具体问题的求解及结果分析
11、 以上模型（）是一个双目标规划，故我们必须给这两个目标一个权重,运用Saatry 比较尺度法(即 19 标度法)令的取值范围为则, 9 . 0 , 2 . 0 , 1 . 0以上双目标规划问题就进一步变为一个单目标规划问题,列出这一个单目标规划模型:3.1, 2 , 1, . .12700max321131 12 kniiiitsmDP fkmjj kik 10 以上规划,我们可以用 Matlab 编制程序，得出每一个取定值的 9 个单目标函数规划， 并求解出相应的各个方案及函数的最大值，数据如下表： 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91f0.58970.58970.589
12、70.58970.58970.58970.58970.58970.58972f0.96700.96700.96700.96700.96700.96700.96700.96700.9670ki6,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,10从上面的数据,可以知道我们在 0.1，0.9 范围内取值时,我们都得出相同的答 案-6、7、10 队员组队,但我还对=1 时,进行了计算，结果是第 3、6、10 队员组队(其中),不过此方案纯粹是考虑队员的能力之和，并未体现出他5206. 0,6327. 021ff们各自的专长特点。故我们确定一个队员
13、名单为 6、7、10 的组队方案为最佳的组队。我们 看下表，这支队不但显示了每个队员具有很强的能力，而且充分体现了队员们在专长特色 方面都各有千秋。条件队 员科学水平智力水平动手能力写作能力外语能力协作能力其它特长69.29.69.07.29.19.2977.08.09.86.28.79.76109.69.18.09.98.79.76 3.33.3 第三个问题的解答第三个问题的解答 a)问题的分析 在第三个问题中,要求把第一个问中选出的 n 名队员组成 c 个队,给出一个组队方案， 使整体竞赛技术水平最高，并给出了每个队的竞赛技术水平,此问的要求其实是两点:1、各 个队的综合实力要尽量的接近,
14、2、每个队中的各个队员的专长要不同，意指尽量地把专长 各不相同的人组在一个队中，以下我们就要构造出能反映以上两点要求的一个双目标规划 模型出来。 b)分析步骤我们在这个问题的讨论中假设已经选出了六支优秀的队伍,用来表示第 kdk13个队中第 d 个队员的队员号，其中. 31, 61dk第 k 个队中每个队员的第 j 项指标的数学期望为：331,1331,13djdkdjdkE 反映第 k 个队中的三个队员在第 j 项指标的能力的偏离程度（方差）为：231,13,13 djdkjdkjEED第一期（2002 年 10 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.111 则所有组建的队伍中的各个专项指
15、标偏离程度之和为： 312131,13,13nkmjdjdkjdkEEE第 k 个队中第 d 个队员的综合能力水平的指标(7 项指标的标准分的数学期望)(我在求解第一个问时已求出,即),则反映第 k 个队中队员的综合能力之和： dkP)1(3 3113 ddkkEPT所有组建队伍的综合能力的数学期望为： 61kkETET所有这些队伍的综合能力的偏离程度（方差）：2ETTEDTkc)构造反映此问题的函数 反映每一个队里各个队员的专长特点的量是： 312131,13,133nkmjdjdkjdkEEEf反映各个队的综合能力的均衡程度的量是：2 4ETTEfkd)建立数学模型 于是，我们就可以得出求解此问题的一个双目标规划数学模型（）： nkniiiiitsETTEfEEEfknkknkmjdjdkjdk1, 2 ,
