《【数学与应用数学】论文——商品价格问题的线性回归模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学与应用数学】论文——商品价格问题的线性回归模型（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、44 商品价格问题的线性回归模型商品价格问题的线性回归模型摘要摘要：价格问题是企业及消费者普遍关注的问题,价格的高低会影响消费者的需求.价格上涨,需求下降,反之则上升.如何定价才能使销售额最大呢？本文针对此问题建立相应数学模型,如简单优化模型,线性回归模型,“价格弹性”模型等,使用最小二乘法及极值法求解出最优价格.模型从易到难、由简到繁,分别给出了单商品及双商品的数学模型,解决了单一商品及双商品最优价格问题.最后还给出了模型的推广,将二种商品推广到种商品,有很强的实用性与创新性.n关键词：关键词：价格；销售额；需求函数；价格弹性；线性回归1 问题的提出问题的提出商品的定价是企业的重要决策之一,
2、这种看法已经成为人们的共识.价格的高低对商品需求具有重要影响.商品的定价直接关系到企业是否盈利及盈利的高低.商品的价格太高会导致销量下降,价格降低虽会提高销量,但也许因为价格太低而影响企业盈利.当只有一种商品时,显然销量是该商品价格的降函数，但当两种商品互相影响时,情况就不同了.另一商品的价格也会导致其中一种商品的销售量,即使该商品本身的价格不变.因此,如何为商品定价才能使企业获得最大销售额显得至关重要.因此,本文就此问题而寻求解决办法.分别给出单一商品和双商品的定价方案.2 模型准备模型准备2.1 模型假设模型假设以下所讨论的价格均不会低于成本商品总能满足顾客需求,即总能保持供需平衡商品质量
3、等方面均能满足顾客要求之标准,不会影响顾客购买心理不考企业间竞争及社会因素对价格的影响价格在一个时间单位（如年、月、周）内不会变动2.2 符号约定符号约定：第 种商品第个时间单位（如年、月、周）的价格ijpij若只简单记为则表示某商品第个时间单位的价格jpj：第 种商品第个时间单位的销量ijqij45 若只简单记为则表示某商品第个时间单位的销量jqj：商品 相对商品的交叉价格弹性,当时则称为自价格ijEijji 弹性：销售额,即销售总收入Q2.3 概念解释概念解释一、销售额：销售总收入,用各商品价格与相对应销售量的积的和表示需求曲线：又称需求函数,是反映价格与需求关系的函数,一般为价格的降函数
4、二、需求自价格弹性1：反映商品自身价格对消费需求的影响关系,用需求相对变化率/E价格相对变化率 表示,或是：需求提高百分数/价格提高百分数E三、需求交叉价格弹性1：反映某一商品价格变动对另一商品消费需求的影响关系,用商品 的需求相对变化率/商品价格相对变化率表示,或商品 的需求变动百ijEijijEi分数/商品价格变动百分数，当时,称商品 与商品互为替代品,如青菜与卷心菜,j0ijEij当青菜价格上升时,顾客对卷心菜的需求量则会上升;若,称商品 与商品为互补品,0ijEij即在购买过程中,两种商品须同时按一定比例配给顾客,如汽车与汽油,当汽车价格上涨时,不仅汽车的需求会降低,同时汽油的需求量也
5、会降低（尽管汽油价格不变）;若,则称两0ijE种商品互为独立品,即两种商品互不影响.3 单一商品的价格模型单一商品的价格模型3.1 简单优化模型简单优化模型理想情况下已知道需求曲线：1ap bq以价格为横坐标,销量为纵坐标作平面图.（如图 1）pq记为该直线上一点,即点满足该需求曲线（函数）),(qpMM即： 得：1ap bqpabbq需求曲线qpbaM046 欲求销售额即的最大值,亦即求点在曲线上运动时对应的矩形（阴影部分）qpQM面积最大.pbpabqpQ2问题化为求二次曲线 的最值问题pbpabqpQ2令：02bpab pQ得稳定点：相应,2ap 2bq 即销售额最大为：4 maxbaq
6、pQ但现实中往往不能事先知道需求曲线,或曲线并是一条完美的直线.因此模型 3.1 并不总是可行.幸好通常企业都会有往年销售记录,利用这此数据可使用相关方法求出需求曲线,有了需求曲线,要求最优 价格便不是难事了.故关键是如何将商品的需求曲线找出来.因此我们对模型 3.1 进行改进.3.2 线性回归模型线性回归模型通常企业都会记录自己商品的销售情况,包括价格,销售量等信息,这些数据, 若在坐标平面上描点作图可得一些零星的点,从长远来看,所有这些点组合起来接近于一条直线(通常情况下),这就是我们要找的需求曲线.因此我们就可以使用线性回归方法拟合出需求曲线.可以选取线性函数用最小二乘法2拟合数据.假设
7、现有某商品销售记录如下：(表 1)时间单位1 2 3 4 n价格 1p2p3p4pnp销量 1q2q3q4qnq方法一：选取线性函数：.（1）paapq10)(47 其中为待定参数.10,aa根据表格数据建立最小二乘法的法方程组3：（2） ),(),(),(),(),(),(101011100100 ffaa其中： niiiniiniiniiqpfqfppn11 1102 111011000),( ,),( ,),(),(),( ,),(解方程组（2）可得：的值.代回（1）式即可得出该商品的需求曲线表达式. 10,aa方法二：记 niiiniiipaaqpqqT12 10 12)()(再令：（
8、3） 0)(20)(2110 1110 0niiiiniiippaaqaTpaaqaT解方程组（3）即可求得的值.代回（1）式即可得需求曲线表达式.10,aa因此销售额表达式为：2 10papaqpQ用模型 3.1 的极值法即可求出最大销售额.maxQ3.3 “自价格弹性自价格弹性”需求曲线需求曲线仍使用表 1 的数据,用数理统计的方法求出该商品的需求自价格弹性.记： 1, 2 , 1,1, 2 , 1,1!niqqqnipppiii iiii iLL求其数学期望4：111111,11niiniinn则该商品的需求自价格弹性：E48 或先令：再用数学期望：1, 2 , 1,niii iL111
9、1niinE通常是一负数，为了求出需求曲线，我们要使用原始数据，为此，先求出价格与E销售量的数学期望： niiniiqnqpnp111,1则需求曲线可表示为：)(1 )(pppEqpq得销售额表达式：)1 ()(1 )(2pEppEpppppEqppqpQ最后使用模型 3.1 的极值法即可得最大销售额：.maxQ3.4 实际问题求解实际问题求解以市场上奶酪为例,现有奶酪销售记录如下：（表 2）时间单位1 2 3 4 5 6 7价格（元/吨）1055 1057 1061 1058 1053 1050 1046销量（吨）208900 208460 207580 208240 209340 2100
10、00 210880方法一：线性回归选取线性函数： ,根据数据写出方程组paapq10)( 15428075201463400 778078473807380710 aa解得220,44100010aa故需求曲线为：ppq220441000)(则销售额表达式为：2220441000)(pppqpQ令：,得0440441000ppQ27.1002p此时销售量：,60.220500)(pq8 max10210011363. 2)(pqpQ49 方法二：自价格弹性根据模型 3.3 及表 2 可求出奶酪的自价格弹性为：209057,1054,11. 1qpE则：ppppEqpq16.22027.4411
11、10)(1 )(则销售额表达式为：222027.441110)(pppqpQ用极值法求解可得：8 max1020947012. 2,220506,1002Qqp4 双商品的价格模型双商品的价格模型在现实生活中,往往销售情况不会就那么简单,销售量不只会受自身价格的影响,同时也会受其它商品的影响.通常情况下,某一商品价格的变动会影响另一商品的销售量.因此,对两种商品甚至多种商品的价格问题进行探讨是十分必要的.设有两种商品,它们在销售中能互相影响,企业记录的销售情况如表 3：21,AA(表 3)时间单位价格与销量1 2 3 n1p 11p12p13pnp12p 21p22p23pnp21q 11q1
12、2q13qnq12q 21q22q23qnq24.1线性回归模型线性回归模型当某一商品价格固定不动时,该商品的需求情况可看成是另一商品的线性函数,因此我们仍可选取线性函数：2221212021221211110211 ),(),(papaappqpapaappq其中为待定参数.222120121110,aaaaaa仿照 3.2 做法：50 记： niiiiniiiiniiiiniiiipapaaqppqqTpapaaqppqqT12 222221202 12 2122212 212111101 12 21111)(),()(),(令：（4）niiiiiniiiiiniiiippapaaqaTp
13、papaaqaTpapaaqaT12212111101 12111212111101 1111212111101 1010)(20)(20)(2解方程组（4）即可将参数 求出.121110,aaa同理可求出参数.即商品与的需求曲线为：222120,aaa1A2A2221212021221211110211 ),(),(papaappqpapaappq则销售额为：2211qpqpQ2 2222 111212112220110)(papappaapapa因此销售额最大的问题也就转化为求二元二次函数极值问题了,同样,令：（5） 02)(02)(2221211220 21112211210 1papa
14、aapQpapaaapQ解方程组（5）即可得最优价格.21,pp4.2 “交叉价格弹性交叉价格弹性”需求曲线需求曲线根据交叉价格弹性定义及表 3 数据,先求出商品的交叉价21,AA格弹性及,为此,12E21E51 记： 1, 2 , 1,1, 2 , 1,2212 2 1111 12212 2 1111 1niqqq qqqnippp pppiii i iii iiii i iii iLL令：12 , 1,22 2 11 1niii i ii iL得：112211111211,11niiniinEnE由于商品的需求情况不仅互相影响,且会自我影响,因此,的需求函数应21,AA21,AA表示为：（6） )()(1 ),()()(1 ),(1112122222 22122221211111 1211pppE pppEqppqpppE pppEqppq因此销售额:)()(1 )()(1 ),(),(1112122222 2222
