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1、1硬盘振动几何光学测量模型摘 要本文借助光学测量方法测量硬盘振动情况，以光学镜面反射及几何光学原理为解 决问题的主要依据，建立了硬盘振动光学反射测量模型；通过镜面反射间接检测硬盘 的振动，并依据反射情况结合平面几何知识分析其振动情况；解释了采用两束光线测 量技术的原因，分析了测量原理，并通过测量求得了振动方程系数 a、b、c，以此确 定了盘片局部的表面方程最后通过计算机模拟取值方法求得不同精度下对平面方程的影响，并通过 Matlab 求解得在的精度下对平面方程影响最小510关键词：关键词：振动测量;几何光学原理;平面方程;测量精度21 问题的提出硬盘是计算机上的重要部件，正向着更小、更快、密度
2、更高的方向发展。如何减小盘片的振动，成为关键问题，于是怎样检测盘片的振动更加重要。由于硬盘转速很高，不适宜接触式测量，容易想到光学测量。有一种新技术测量物体表面获得振动情况，是利用类似镜面反射的几何光学原理工作的：选用同一点光源发出两束光线，照射有反射能力的被测物体平面，产生的两条反射光线再照射到水平放置的接受屏上。接受屏能够检测出光线照射点在接受屏平面上的坐标位置，问题是怎样利用图 2 中 Oxy平面的两个坐标值反算出被测物体当前的平面方程，就可利用平面方程的变化得到振动情况。图 1 是用两条光线检测的原理图，点光源 O 为坐标原点，E1和 E2是盘片瞬间位置的反射点，此时盘片局部表面方程为
3、 z=ax+by+(c+D)，其中 a,b,c 为未知量，由于硬盘在振动，平面就偏离了初始位置 z=D(D0 为接受屏的高度，B1和 B2是其上的照射点，这样利用它们确定、和 获得盘片局部表面abc方程。问题 1：请解释这种测量技术采用两束光线的原因。 问题 2：请建数学模型分析盘片局部表面方程的测量原理。 问题 3：试分析接受屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程的影响。2 2 模型的准备模型的准备2.1 模型的分析 从实际出发,选取市面流行的计算机硬盘(3.5 英寸台式机)进行振动测量, 由于硬盘 盘片是固定在电机主轴上高速转动，无论怎样振动硬盘盘片都受到主轴约束，使得硬OB1图 2 接受
4、屏示意图B2x ,y ,)(DcbyaxzhDhz 被测物体平面接收屏图 1 原理图O点光源E1E2B2B1zxy3盘中心点位置坐标永远固定不变,如图 a 所示 a.硬盘的平面图 2.2 模型的假设 根据上述分析，有如下合理假设： 1、盘面围绕旋转中心 C（0,0,D）振动； 2、两条入射光线的方向向量为已知且固定，；),(),(22221111pnmOEpnmOE3、光线在盘片发全反射,没有散射现象 2.3 符号约定; ,:,21为入射光线OEOE;:,2211为反射光线BEBE,：入射光线方向向量；),(1111pnmOE ),(2222pnmOE 3 3 模型的建立与求解模型的建立与求解
5、 3.1 问题一的求解(1) 从上面可以看到,从同一点光源可以发射出若干条入射光线，每一条入射光线都 可以和反射光线构成一个平面，并且每一个平面都垂直于反射面，且经过共同的点光 源 O，但有且仅有一条垂直于反射面的交线，因此由这两个平面就可以反射面的法向 量 (2) 由于硬盘盘片时刻在振动，不同时刻有不同方程，因此如果只用一束光线，显然 无法求解，而用三束线则无论成本及计算方面都比较大，不宜采用，因此采用两条入 射光线是最佳的测量方案 3.2 问题二的求解 首先，不加证明地引入如下几何定理： 引理 1：平面 A 与平面 B 均垂直于平面 C,假设 AB 相交于直线 L,则 L 必垂直于 C 引
6、理 2：入射光线和反射光线构成的平面一定垂直于反射表面 由引理 2 知，平面 OE1B1和 OE2B2都垂直于反射面，即被测物体平面，如图 b 所4示OE1E2OE1E2图 b 入射光线与反射光线构成平面垂直反射面示意图由于两条入射光线均过原点，且方向向量已知可求得直线和的方程分别为：1OE2OE： （1）1OE111pz ny mx： （2）2OE222pz ny mx接收屏上 B1和 B2点在 xyz-O 坐标系里的坐标分别是 B1（,h） ，B2（,h）， 1Bx, 1By 22,BByx则直线 OB1和 OB2的方程分别是： （3）1OBhz yy xxBB11： （4）2OBhz y
7、y xxBB22根据量的性质，知道两向量叉乘得到的向量就是由这两条直线所构成平面的法向量，因此由直线和直线构成平面的法向向量为：1OE11BE11BOEhyxpnmkjiSSnBBBOE 111111111OBOEkxnymjxphmiyphnBBBB1111111111于是，运用点法式便可以求出平面 OE1B1的方程：（5）0 1111111111zxnymyxphmxyphnBBBB同理，平面 OE2B2的法向向量为：52222OBOESSnBOEhyxpnmkjiBB22222 kxnymjxphmiyphnBBBB2222222222平面 OE2B2的方程为：（6）0 22222222
8、22zxnymyxphmxyphnBBBB平面 OE1B1和 OE2B2存在公共点 O，则两平面必然相交于一条直线，记为直线 l，由引理 2，直线 的方向向量就是反射平面的法向向量直线 的方向向量为两相交ll 平面 OE1B1和 OE2B2法向向量的叉乘，即：（7）222211112211222222111111BBBBBBBBBOEBOEl xnymxphmyphnxnymxphmyphnkjinnsn反射面硬盘瞬间的震动平面均固定在中心点（0，0，D） ，结合（7）式反射面的法线向 量，由点法式便可得出反射面的方程，即硬盘片振动的瞬时平面方程(8) Dyxphmyphnxphmyphnxn
9、ymyphnxnymyphnxxphmyphnxphmyphnxnymxphmxnymxphmzBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB1221112221122122111211222211112222111122221122111122由上面平面方程便得：(9) 01221112221122122111211222211112222111122221122111122cxphmyphnxphmyphnxnymyphnxnymyphnbxphmyphnxphmyphnxnymxphmxnymxphmaBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB3.3 问题三求解3.3.1 问题的分析 盘片振动过
10、程中以偏离原平面的角度为考察对象，对于盘片表面上任一点，该点 的 z 值反映了该点偏离原平面的情况，即振动情况而 z=ax+by+c+D，所以接收屏分 辨率对局部表面方程的影响即是考察不同分辨率下取整引起 z 值的变化量的情况即 对其表面方程系数 a，b 的影响 盘片时刻在振动，设其偏离初始状态 z=D 的角度为，当取不同值时，得到不同的,对取不同的精度,并在这些精度下四舍五入取21,BB21,BB8765410,10,10,10,106整，最后利用 matlab 软件求解，通过 a,b 前后变化来分析接受屏分辨率（测量精度） 对盘片局部表面方程的影响3.3.2 问题的求解BO盘面振动解析图D
11、CB1(B2)F依据正弦定理，可得到接收屏上 B 点在 O-XYZ 坐标上 x的计算公式，如下：11B)2sin()2sin( OBOC(10) )22sin()22sin(OBODF=1B)2(ctgDF其中为入射光线在平面 OXZ 或平面 OYZ 上的投影与 OZ 轴的夹角，当在不同平面上取不同值时，就可求得相应的在接收屏上反射光线点的位置；例如可分别取入射光线在平面 OXZ 或平面 OYZ 上的投影与 OZ 轴的夹角=，=，1OE10331则求得接收屏上点在 O-XYZ 内的坐标1B21,BBxx盘片的振动范围一般不大于 50 纳米，3.5 英寸盘片振动的半径约为 44.5 mm根据硬盘
12、的实际振动情况，可取 在 （0，）范围内进行计算得45.4450610 2cossincos242103tan310310311 BByx7(11) 2cossincos24231tan3313122 BByx3.3.3 算法的实现 （1）用 MATLAB 在 的取值范围内随机抽取 100 组值，得到振动的一般情况由每一个 和= 及=，得到一个 x、x11032311B2B同时利用第二问中由 x、x、确定相应 a，b 值的公式，就得到对应1B2B1By2By的 a，b 值 12212103 1312131 103tan3tan3tantanBBBBBBBB yxyxxxxxa12212103
13、1321103 1231 21103 31tan3tan3tantantantan3BBBBBBBBBBBB yxyxxxyxyxxxb（2）利用 matlab 的 fix 函数，对以 10的精确度下的四舍五入处理n算法是对得到的 x、x、，利用先乘 10 ，利用 fix 函数四舍五入，1B2B1By2Byn再除以 10 的方法，按照题意取得相应的精度，n 取 48 （源程序见附录 fn.m）n（3）将 7 个不同分辨率下的 a，b 值按对应的序号与未作四舍五入的精确值作差的平 方得到 7 组差，利用y(j),z(j)=min(st(j,:)，将最小差的序号存入 z 中得到 100 个 序号
14、序号 j=n-3， （j=17） ，其中 n 是 10的精确度中的 n（见 final.m、afinal.m 和nbfinal.m） 最后通过求解得到在 10精度下，a、b 值的变化量最小而对 n 大于 5 或小于 5,测5量值与精确值的偏差都会相对变大4 4 模型的改进模型的改进在 3.2 的模型中，由于没有考虑硬盘在 Z方向上的上下振动，使得题目中测量盘面振动的瞬时方程中的 c 项为 0但实际上硬盘振动时可能在 Z 方)(Dcbyaxz向有平动，这样就应假设无论被测平面怎样振动，其瞬间平面都经过中心点 C，且坐 标是 C(0,0,c+D)，其中 c 表示被测平面在 Z 向有平动时偏离平面 z=D 的大小，方向与 Z 向一致 如果要用光束反射测量振动大小 c，则可以垂直于 XOY 面向被测平面发射光束， 利用接收返回光束的时间来测量距离，减去 D 就是 c 的大小5 参考文献参考文献1 吴建国主编，汪名杰等，数学建模案例精编M,北京：中国水利水电出版社,20058年 2 吕林根,许子道等主编，解析几何(第三版)M,北京：高等教育出版社,2004年附录： fn.m function fi
