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1、75 汽车保险的优化模型汽车保险的优化模型摘要摘要：本文针对汽车保险公司每年每份保险费的收取这个实际问题，提出了相应的数学模型并根据已知数据用 MATLAB 软件算出了保险公司今后五年客户中各类人的数量从而得出保险公司今后五年每年度应收取的保险费为： 医疗费下降 20%时，每年的保费依次是： 638.39 ， 636.84 ， 636.76 ， 636.63 ， 636.57. 医疗费下降 40% 时，每年的保费依次是： 583.10 ， 581.65， 581.60 ， 581.47 ， 581.42 .关键字：关键字：汽车保险; 保险费; 保险公司 1问题的提出问题的提出 某保险公司提供一
2、年期的综合车保险单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给 予额外补助所有参保人被分为 0 ， 1 ， 2 ，3 四类类别越高， 从保险费中得到的 折扣越多在计算保险费时，新客户属于 0 类在客户延续其保险单时，若在上一年没有 要求赔偿， 则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别， 否则为 0 类客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适 当部分假设当前年度该保险公司的统计报表如表一和表二(见附录) 现在政府准备在下一年开始实施安全带法则，如果实施了该法则，虽然每年的事故数 量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医疗费将有所下降这
3、是政府 预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额这也是该保险公司目前最关心的问 题根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少 40%，遗憾的是医 疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少 20%到 40%要求针对此问题建立 一数学模型，并给出在医疗费下降 20%和 40%的情况下，公司今后 5 年每年每份费应收多 少才比较合理？ 2 基本假设基本假设 1.假设保险公司的保险费分为纯保险费和附加保险费两部分附加保险费用于公司的部分 业务支出客户一旦投保，这部分钱将不在退回根据已知数据算得每个客户应交的附加保险费为元165.110M2.假设受伤司机获赔当年不注销，注销人数
4、为死亡客户和没要求索赔而自然退出两类 3.假设各类别司机自然注销的时间为每年的最后一天，并且每人所获得的偿还退回费相同由已知数据算得 元066.1821M4.假设不同级别的司机获得的死亡赔偿费相同根据已知数据算得平均每个死亡司机所获得的死亡赔偿费为元99.427802M3 符号说明符号说明司机类别;: i)3 , 2 , 1 , 0( i年份(本年度为第 0 年，依次类推);: j)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(j今后第 j 年应收取的保险费;:jx各类别司机一年中的续保人数;:ijg76 各类别司机一年中的新投保人数;:ijn各类别司机一年中总的投保人数;:ijs各类别司机一年
5、中的自然注销人数;:ijc各类别司机一年中要求索赔的人数;:ijp各类别司机一年中的死亡人数;:ijd平均修理费;:ir平均医疗费;:im各类别司机每年的死亡率;:ia各类别司机每年的索赔率;:ib各类别司机每年的自然注销率;:if死亡司机下降比例;:q%)40( q医疗费下降比例:e%40%,20e4 问题的分析问题的分析 汽车保险是由保险公司提供的一项社会服务每份保险费的收取是否合理关系到保险 公司的利益问题因为在没有盈利的情况下，保险费的收取要符合收支平衡关系即总的 收入要与总的支出相平衡所以要求今后五年每年度所收取的保险费，关键是要求出今后 五年客户中各类人的数量 5 模型的建立与求解
6、模型的建立与求解 5.1 今后年客户中各类人的数量今后年客户中各类人的数量 根据题目条件易知，在实施安全带法规后，受伤司机会减少 40%，医疗费会减少 20% 到 40%，而其余的条件都没有改变因此各类别司机一年中的死亡率、索赔率和自然注销 率满足下列关系式：- (1)0ii isda - (2)0ii ispb - (3)0ii iscf 由以上三式及已知数据计算得出各类别司机一年中的死亡率、索赔率和自然死亡率如77 表：类别死亡率索赔率自然注销率00.7%35%1.1%11.3%33%1.6%20.2%10%1.2%30.1%8%3.7%又由于新投保人已知，考察今后五年各类客户的来源：0
7、类客户包括新客户及上一年 从 1，2 类客户降级下来的客户;1 类客户包括新客户、上一年从 0 类客户升级上来的客户和 上一年从 3 类客户降级下来的客户;2 类客户包括新客户和上一年从 1 类客户升级上来的客 户;3 类客户包括新客户、从 2 类客户升级上来的客户和上一年 3 类续保下来的客户因此 今后五年客户中各类人的数量满足下列关系式： 续保人数满足：2010100)(jjjdpg)()(01010013131fspsdpgjjijjjj11111112fspsgjjjj)()(313131321212123fspsfspsgjjjjjjj其中： 以下同5 , 4 , 3 , 2 , 1
8、j新投保人数满足：3824600jn11jn02jn03jn总投保人数满足：ijijijgns即： 2010100000)(jjjjjjdpngns)()(010101013131111fspsdpngnsjjjjjjjjj)(11111111222fspsngnsjjjjjjj)()(3131313212121233fspsfspsnsjjjjjjjj78 自然注销人数满足：iijijfsc 要求索赔人数满足：iijijbsp 死亡司机人数满足：iijijasqd)1 ( 根据以上各类人的数量所满足的关系式，利用 Matlab 软件编程计算得到今 后五年客户各类人的数量如附表一至附表五 5.
9、2 今后五年每年度保险公司应收取的保险费今后五年每年度保险公司应收取的保险费 根据今后五年各类人的数量及假设，得出公司收入、支出和每年度各类司机的汽车修 理费、医疗费、死亡赔偿费以及偿还退回费满足如下关系式： 收入=支出+修理费+医疗费+死亡赔偿费+偿还退回费 其中收入为：30)1 (iiijjxksR支出为：300ijjsML修理费为：30iijjrps医疗费为：30)()1 (iijijjmdpeN死亡赔偿费为：302ijjdMp偿还退回费为：301ijjcMQ根据以上式子及已知数据可以算出公司支出及今后五年每年度各类司机的汽车修理费、 医疗费、死亡赔偿费和偿还退回费如下表(单位：百万元)
10、：年分支出修理费医疗费(下 降 20%)医疗费(下 降 40%)死亡赔偿 费偿还退回 费1148.5001964.4321773.3131329.9851163.34369.91479 2148.2041954.9731765.9561324.4671155.81469.8413147.9141950.5961761.5711321.1781153.54769.7654147.6291964.0011757.3371318.0031150.59569.6355147.3521942.0791753.8611315.3961148.24269.513从而估算出今后五年每年度应收取的保费如下表 (
11、单位：元)：jx1x2x3x4x5x医疗费下降 20%时638.39636.84636.76636.63636.57医疗费下降 40%时583.10581.65581.60581.47581.42参考文献：参考文献：1姜启源数学模型(第三版)北京：高等教育出版社2003 .82王沫然 MATLAB60 与科学计算北京：电子工业出版社2001.9附录：附录：表本年度发放的保险单数表本年度发放的保险单数基本保险费：775类别没有索赔时的补贴比例（）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012807083846201826416653281257648971282401764898240115446
12、10138571154461350876005803241148760058总投保人数：6182 百万元，偿还退回:70 百万元，净收入:6112 百万元，支出：149 百万元,索赔支出：6993 百万元，超支：130 百万表二表二 本年度的赔偿费本年度的赔偿费类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）058275611652102015263195158246323315122312313886211585722929478232941370087270318058142321总修理费：1981(百万元)总医疗费:2218(百万元)总死亡赔偿费：1894(百万元
13、)总索赔费：6093(百万元)附表一： 今后第一年客户中各类人的数量 (单位：百万)类别续保人数新投保人数总投保人数注销人数索赔人数死亡司机人数01243817384620162843717913569953683911758112117581132813058017713713211541970115419713850115420138538759814087598143241137007855256附表二： 今后第二年客户中各类人的数量 (单位：百万)类别续保人数新投保人数总投保人数注销人数索赔人数死亡司机人80 数0124361338462016282331791156988268391
14、1736100117361012777857291313542211498060114980613798114981138038759843087598433241147007875256附表三： 今后第三年客户中各类人的数量(单位：百万)类别续保人数新投保人数总投保人数注销人数索赔人数死亡司机人数01236015384620162063517827567222680711735971117359722777657287113541211354100113541013625113541136238755969087559693239717004785254附表四： 今后第四年客户中各类人的数量
15、(单位：百万)类别续保人数新投保人数总投保人数注销人数索赔人数死亡司机人数01231924384620161654417782565790678911730810117308112769357116813500211353250113532513624113533136238739764087397643233716991815244附表五： 今后第五年客户中各类人的数量(单位：百万)类别续保人数新投保人数总投保人数注销人数索赔人数死亡司机人数01228840384620161346017748564711677711726909117269102763156988013470211319500113195013583113195135838725381087253813228396980315235The Model for Car-insuranceAbstract: car-insurance is a practice problem. In this paper, a mathematics model is established for the c
