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1、- 1 -DVD 在线租赁方案的优化模型摘 要本文对 DVD 在线租赁的需求预测、购买与分配等相关问题，进行合理的简化假设，得到该问题的数学模型.对于 DVD 张数问题，根据需求预测表（题中表 1） ，计算租赁周期上、下限的平均值，应用图论知识，利用会员对 DVD 的偏好程度建立二部图和图论度的计算得出对应不同平均租赁周期的 DVD 数量结果.针对 DVD 的现有张数和订单数，给出了权重矩阵和满意度函数，建立以最大整体满意度为单目标的 0-1 整数规划模型，利用 Lingo8.0 软件中的ole 函数从 Excel 中读取权重系数矩阵，求解出最大整体满意度和其分配方案.利用在线订单，以最大整体
2、满意度和最小购买量为多目41 标的 0-1 整数规划模型，通过线性加权法化多目标为单目标规划，利用 Lingo8.0 软件求解出当时，其最大整体满意度分别为 980.48，1000，978.3，1000，10,15,18,21其最小购买量分别为 981，1475，1805，2085.从网站角度考虑，分析需求预测、购买分配中联系的参变量，确定了几个值得研究的问题，提出并建立了以网站最大收益和最大整体满意度为多目标的规划模型.关键词：0-1 整数规划；租赁周期；满意度- 2 -1 问题的提出考虑如下的在线 DVD 租赁问题.顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务.会员只要在线提交订
3、单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求.会员提 交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的.网站会根据现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发. 请考虑以下问题： 1）通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD 的人数.假设网站现有 10 万 个会员，对其中 5 种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的 会员能够看到该 DVD？ 2）如今给出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线 订单，如何对这些 DV
4、D 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD. 3） 如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？ 4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些 重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型.2 基本假设与符号约定2.1 基本假设 2.1.1 网站在不太长的时间内会员人数没有太大的变化,网站每月的月费收入基本 保持不变； 2.1.2 不同电影的 DVD 的
5、价格相差不大，视作相等； 2.1.3 网站用速递方式将 DVD 送交给会员，以及会员将 DVD 邮寄给网站的时间 都很短，视为即日到达.邮寄每次都是三只 DVD，而且邮费都是一定的； 2.1.4 允许网站不对部分订单作处理； 2.1.5 每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD.会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担） ， 就可以继续下次租赁；2.1.6 60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次.2.2 符号约定 ：会员总数，其中在问题一中，万；在问题二、三中，；m10m1000m ：DVD 种数，
6、其中在问题一中，；在问题二、三中，；n5n100n ：会员租借 DVD 的平均租赁周期；：DVDj 的现有张数，；jd1,jn ：DVDj 在会员的定单中的偏好程度，；ijaiC1,im 1,jn ：会员对 DVDj 的权重系数， ，；ijbiC1,im 1,jn ：对于网站的分配方案,会员的满意度，；iiC1,im - 3 -：所有会员对网站分配方案的总满意度.3 DVD 数量的图论模型3.1 平均周期的上、下限会员租 DVD 一次（含看及周转 DVD）的时间称为租赁周期，而个会员的iCim平均租赁周期为.一般情况下，一个月内租 DVD 一次的会员当中，最小租赁周期为15 天，最大租赁周期为
7、 30 天；一个月内租 DVD 两次的会员当中，最小租赁周期为 5 天，最大租赁周期为 15 天.根据上面所述及假设 2.1.6 可得平均周期上、下限.计算其 平均值（数学期望） ，有： inf5 0.6 15 0.49 天 sup15 0.630 0.421天于是 9,213.2 图论模型令为会员集合，12,mC CC 为不同 DVD 集合.12Y,nD DD以为顶点集，若会员愿意观看，则连一条边，则得到一个图（二部图）XYiCjDX,YG- 4 -1C2C3C4C1D2D3D4DnD XYmCX,YG易知：中每个顶点的度，Y 1200d D2100d D350d D254Dd.的度与的度相
8、等，即105DdiCjDmi, 1nj, 1 11mnij ijd Cd D是一个简单二部图或偶图.X,YG3.3 模型的转化及求解1）设 DVD应准备的张数为； iDin2）用表示会员一个月租 DVD 的张数（不同） ，或，它是一个随机变量；36由假设 3 及“每次获得 3 张 DVD”知，；30.4P60.6P3）试在中找一个生成二部子图， （满足或 6）.X,YGX,YH 3id C3.4 DVD 数量的计算in1）一个月 50%的满足： 300.5iind D的结果为：9 0 1 2 3 平均租赁期910111213- 5 -DVD130013334366740014334 DVD21
9、5001667183420002167 DVD375183491710001084 DVD4376417459501542 DVD5150167184200217 由上表可知，当平均租赁期为 9 天时，所需的五种 DVD 数量最少.2）三个月 95%的满足： 900.95iind D的结果为：9 0 1 2 3 平均租赁期910111213 DVD119012112232325342745 DVD29511056116212671373 DVD3476528581634687 DVD4238264291317344 DVD596106117127138 由上表可知，当平均租赁期为 9 天时，所
10、需的五种 DVD 数量也最少.4 DVD 分配方案模型4.1 矩阵表示 由题目的在线订单数据表，可得到 DVD 的现有数量矩阵 40, 2 ,40,10,10021dddD设表示会员在 100 种 DVD 中选择了种，从数据表得知有三ijjiam 1001maxiCimim个取值 8，9，10. 我们知道，会员的在线订单用数字 1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，即数字 1 表示会员对于对应 DVD 的偏爱程度最高，数字 2,3,.,表示其偏爱程度逐渐im下降.把会员的偏爱程度进行量化：对于每一个 ，当会员在 100 种 DVD 中选择了iiC种时，定义分段函数im 0, 00,1i
11、jijiji ijaaamb其中表示会员对的偏爱权重系数.ijbiCjDVD可以建立选择权重矩阵 1001000ijbB- 6 -=100100070000000000600000000000044.2 满意度函数 由于每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD.不妨假设会员 获得其偏爱权重前三位的 DVD 时，会员的满意度就达到 100%.而满意度为 100%时， 我们不妨假设此时满意度为 1 . 考虑问题二中要处理的租赁，令 否则，且一张租给会员若, 00DVDj, 1iji ijaCx于是，可以定义会员的满意度为iC 132110011001 ijijijiiiji
12、jijimxbmmmxb所有会员的整体满意度为 10001ii问题二要求对 100 种 DVD 进行分配，使得会员获得最大的满意度，即要使达到最大 值. 4.3 DVD 数量模型在分配方案中每种 DVD 租赁出去的总张数不应超过其现有数量（对应模型的式 （2） ）即 DVD 现有数量的约束.而在当前 DVD 在线订单中，每个会员只能获得 3 张DVD（对应模型的式（3） ）.而是一个决策变量,当=0 时说明了编号为 j 的 DVDijxijx没有租赁给会员.iC根据上面模型的分析，我们以整体满意度为目标函数的单目标规划，建立 0-1 整数 规划模型如下： 模型模型： 100100011max1
13、31ijij jiibxm - 7 - 100011001. .,1,2,10023,1,2,10003014ijj iij jijstxdjxix或4.4 模型的求解及结果 在模型的求解过程中，利用 Lingo8.0 软件中的ole 函数直接将权重系数矩阵 （1000 100） （此权重系数矩阵是电子表格的格式）输入到内存，通过max 函数编程 求解 10 万个决策变量的线性规划模型（程序段见附录 1） ，可得局部最优解如下表所示 （列出会员编号为 C0001C0030 的个人满意度和分配方案）：会员编号个人满意度分配到的 DVD 的编号会员编号个人满意度分配到的 DVD 的编号 C0001
14、0.7916784198C00160.96296108497 C00020.9629664462C00171475167 C00030.95238325080C00181416078 C0004171841C00190.88889666786 C00051116668C00201456189 C00060.96296195366C00210.92593455053 C00070.83333266681C00221385557 C00080.48148263135C00231298195 C000915378100C00240.96296374176 C00100.81481415585C002
15、50.9629696981 C00110.95833596366C00261226895 C00120.8518523141C00270.77778505878 C00131217896C0028183482 C00140.88889235289C00290.96296263055 C00150.74074136685C00300.92593376298 在此种方案中，计算出 1000 个会员的总满意度为：.911.44155 DVD 购买量与分配方案模型5.1 数学模型 问题三要求站在网站角度考虑，如何购进最少 DVD 同时获得要求最大的满意度. 与问题二模型相似，在满足最大整体满意度和最小均衡满意度的基础上，继而考虑 DVD 的购买量要尽量小.于是，建立以整体满意度（即模型中的式（5） ）和购买量 （即模型中的式（6） ）为三目标函数的 0-1 整数规划模型. 下面讨论问题三的约束条件： 1）分配方案中 DVD 数量的约束：在此分配方案中，要使 95%的会员得到他想看的 DVD，即对于分配方案中的每一种 DVD，
