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1、School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n n一、离散状态方程的解一、离散状态方程的解n n二、二、z z 传递函数矩阵与特征方程传递函数矩阵与特征方程n n三、李亚普洛夫稳定性分析三、李亚普洛夫稳定性分析n n四、可控性与可观性四、可控性与可观性 n n五、可控标准型与可观标准型五、可控标准型与可观标准型 第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析School o
2、f Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理1 1 递推求解递推求解设状态空间描述为如已知初态 x(0)，则有n n一、离散状态方程的解一、离散状态方程的解School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n将上述结果代入输出
3、方程，可得例7.1 已知离散系统的状态空间描述为设初始状态 ，在单位阶跃输入（即u(k)1，k0，1，2，）作用 下，试用递推法求系统状态解x(k)和输出序列y(k)。 School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n解 利用递推法求解，有 School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方
4、案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n 同理，可求得输出序列 即 School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理2 . 2 . z z 变换法变换法对离散状态方程求 z 变换由此可得取 z 反变换School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案
5、电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n同理，对输出方程两边取z变换，可得将状态解的结果代入，可得取 z 反变换，得School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n例7.2 试用z 变换法求解例7.1 。解 由 u(k)1 可得于是对上式取 z 反变换，得School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析
6、计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理对于输出，有取z反变换，可得相应的状态序列与输出序列为 School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理二、二、z z 传递函数矩阵与特征方程传递函数矩阵与特征方程设A为n 阶方阵，如果存在数和非零n维向量x， 使 得 成立，则称是矩阵A的特征值。欲使式 成立，这等价于求
7、， 使得 成立。由此可得方程 的解i（i = 1,2,3,n）即称为矩阵A 的特征值。 1、矩阵的特征值 School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理设状态方程与输出方程为取 z 变换设x (0)0 ，有其中即z z 传递函数矩阵传递函数矩阵2、 z传递函数矩阵 School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅
8、速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理3、离散系统的特征方程 在上述讨论中，zIA是一个非常关键的方阵，令 便得到一个关于复变量z的方程，该方程称为系统 的特征方程，而 称为该系统的特征多项式。相应地特征方程的解称为系统的特征根，它对应于系统的极点。School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理例7.3 离散系统的状态空间描述如下，试求
9、系统的特 征方程与 z 传递函数。 解 由状态矩阵可得系统特征方程为其传递函数为：School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n李亚普洛夫稳定性分析是基于状态空间描述的控制系统 稳定性分析的重要方法。 n1892年俄国学者李亚普诺夫发表了“论运动稳定性的一 般问题”的博士论文。 n李亚普诺夫第一法，也称间接法，它首先对非线性运动 方程近似线性化，通过线性化方程的解的情况来分析原 系统的局部稳定性；
10、n李亚普洛夫第二法又称为直接法，即不需要引入线性近 似和求解方程，通过引入一个李亚普洛夫函数，直接分析其稳定性。 三、李亚普洛夫稳定性分析三、李亚普洛夫稳定性分析School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理1. 李亚普洛夫意义下的稳定性概念 平衡状态平衡状态满足即 x不再随时间变化对线性定常系统：其平衡状态满足当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A 奇异，有无穷多个平衡点。对非线性系统，可能
11、有一个或多个平衡状态。School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 李亚普洛夫意义下的稳定性李亚普洛夫意义下的稳定性对平衡状态xe，初始状态 x0，若对任意规定，在 t 过 程中，满足：均存在一个闭球域S( )与 之对应，则平衡点 xe 是在李雅普 洛夫意义下是稳定的稳定的。 与有关，通常也与 t0有关。 如果与t0无关，则为一致稳定一致稳定。School of Automation Enginee
12、ring第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 渐近稳定性渐近稳定性设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意 义下是稳定的，同时满足则称该平衡状态是渐近稳定的 。School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n n大范围（全局）渐近稳定性大范围（全局）渐近稳定性n当初始条
13、件扩展至整个状态空间，平衡状态均具有 渐近稳定性，称为大范围（全局）渐近稳定。n对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是大范围 渐近稳定的。n非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n n不稳定性不稳定性n如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管其多 么小，在S()内总存在一个状态x0，使得由该状态 出发的轨迹超出S()，则平衡状态xe称为是不稳定的。Scho
14、ol of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理2. 线性定常连续系统渐近稳定判据 利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即第一法第一法 。 定理定理1 1 对线性定常系统 有：系统的每一平衡状态是在李亚普洛夫意义下稳定的充要 条件为：A A 的所有特征值均具有非正实部非正实部，且具有零实 部的特征值为单根；系统的唯一平衡状态 x xe e= 0 = 0 是渐近稳定的充要条件为：A A 的所有特征值均具有负实
15、部负实部。School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理第二法又称直接法直接法，引入一个能量函数（即李亚李亚普洛夫函数普洛夫函数），利用该函数及其导数函数的符号特 征直接对平衡状态的稳定性做出判断。n能量函数总大于零；n对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。School of Automation Engineering第第7 7章章 计算机控制系统的状态空间分析计算机控制系统的状态空间分析迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理定理定理 2 2 对线性定常系统 其渐近稳定的充要条件为：存
