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1、12015-2016 学年黄陵中学高新部第二学期期中考试高二年级数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 Ax|10，则下列不等式中，恒成立的是( )Aab2 B. C. 2 Da2b22abab1a1b2abbaab4在大桥上有 12 个固定的哨位，但平时只派 9 人执勤，规定两端的哨位必须有人执勤，也不能让相邻哨位都空岗，则不同的排岗方法有( )AA 种 BA 种 CC A 种 DC 种3 93 83 8 9 93 85已知(1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A1 B3
2、 C2 D4 6函数 f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点 x05,5，使 f(x0)0 的概率是( )A1 B. C . D.31023257. 下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；张军某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得凸n 边形内角和是(n2)180.A B C D8对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度
3、在区间20,25)上为一等品，在区间15,20)和25,30)上为二等品，在区间10,15)和30,35上为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是( )2A0.09 B0.20 C0.25 D0.459不等式|x22|0，即 0， 0，所以 22.答案：Cbaabbaabbaab4解析：将 3 个空岗插入 9 个实岗的 8 个空隙之间，有 C 种插法，每一种插法都对应着3 8一种排岗方法，因此一共有 C 种排岗方法答案：D3 85解析：展开式中含 x2的系数为 C aC 5，解得 a1，答案：A2 51 56解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当 x
4、01,2时，f(x0)0，则所求概率 P.答案：B21553107解析：是类比推理，是归纳推理，是归纳推理，所以为合情推理答案：C8解析：由频率分布直方图可知，一等品的频率为 0.0650.3，三等品的频率为0.0250.0350.25，所以二等品的频率为 1(0.30.25)0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为 0.45.答案：D9解析：|x22|22x2220x242x0 或 0x2，答案：D10解析：由于 cosm，n ，m，n120，所以直线 l 与 所成的角为 30.12答案：A11解析：lg alg blg ，lg 有多少个不同值，只要看 不同值的个数，所以共有ababa
5、bA 220218 个不同值答案：C2 512解析：由已知得 ，83(6)解得 2 或 .89ab|a|b|2452 952255答案：2 或255二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若关于 x 的实系数一元二次方程 x2pxq0 有一个根为 34i(i 是虚数单位)，则实数 p 与 q 的乘积 pq_.8解析：由题意可得原方程的另一根为 34i，由根与系数的关系可得(34i)(34i)p，(34i)(34i)q，化简可得 p6，q25，pq150.答案：15014.在四面体 OABC 中，a，b， c，D 为 BC 的中点，
6、E 为 AD 的中点， OA OBOC则_(用 a，b，c 表示) OE解析： () OE OA12AD OA1212 ABAC ()OA14OBOAOCOA12OA14OB14OC a b c.121414答案： a b c12141415.已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk)，k1,2，则 P(2X4)等于( )12kA. B. C. D.31614116516解析：P(2X4)P(X3)P(X4).12312431616.已知集合 M1,2,3,4,5,6，集合 A、B、C 为 M 的非空子集，若xA、yB、zC，xyz 恒成立，则称“ABC”为集合 M 的一个“子集串”，则集合M
7、的“子集串”共有_个 可先分类，再分步：第一类，将 6 个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素有 C 种取法，6 6第二步，分成三组，共 C 种分法，所以共有 C C 个子集串；2 56 62 5第二类，从 6 个元素中取出 5 个元素，共 C 种取法，然后将这 5 个元素分成三组共5 6C 种分法，所以共有 C C 个子集串；同理含 4 个元素的子集串数为 C C ；含 3 个元素2 45 62 44 6 2 3的子集串数为 C C .集合 M 的子集串共 C C C C C C C C 111 个3 6 2 26 6 2 55 6 2 44 6 2 33 6 2 2三、解答题:
8、解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 70 分）的取值范围917设 z i(i 是虚数单位)，则 z2z23z34z45z56z6( )1232A6z B6z2 C6 D6zz解析：设 Sz2z23z34z45z56z6，zSz22z33z44z55z66z7，两式相减得(1z)Szz2z3z4z5z66z76z7，z1z61z所以 S，z1z61z26z71z因为 z i，故 z61.1232S66z1z1232i1232i6(1232i)6(1232i)6 .z18已知向量 b 与向量 a(2，1,2)共线，且满足 ab18，(kab)(kab)，求向量 b及 k
9、 的值解：a，b 共线，则存在实数 ，使 ba，aba2|a|2218，2212222，b(4，2,4)(kab)(kab)，(kab)(kab)0.(ka2a)(ka2a)0，(k24)|a|20，k2.19.二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 C C C C 29.0 91 92 99 910(2)各项系数之和为 a0a1a2a9(23)91(3)由(2)知 a0a1a2a91，令 x1，y1，得 a0a1a2a959，将两式相加，得 a0a
10、2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和591220.有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子问：(1)共有多少种放法？(2)恰有 2 个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)1 号小球可放入任意一个盒子内，有 4 种放法同理，2、3、4 号小球也各有4 种放法，故共有 44256(种)放法(2)恰有 2 个盒子内不放球，也就是把 4 个小球只放入 2 个盒子内，有两类放法：一个盒子内放 1 个球，另一个盒子内放 3 个球先把小球分为两组，一组 1 个、另一组 3 个，有 C 种分法，再放到 2 个盒子内，有 A 种放法，共有 C A 种方法；1 42 41 42
11、42 个盒子内各放 2 个小球先从 4 个盒子中选出 2 个盒子，有 C 种选法，然后把 42 4个小球平均分成 2 组，每组 2 个，放入 2 个盒子内，也有 C 种选法，共有 C C 种方2 42 42 4法由分类计数原理知共有 C A C C 84(种)不同的放法1 4 2 42 4 2 421据中国新闻网报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600 人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的 80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取
12、消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2 100 人120 人y 人社会人士600 人x 人z 人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)已知 y657，z55，求本次调查“失效”的概率解：(1)抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05，0.05，解得 x60，120x3 600持“无所谓”态度的人数为 3 6002 10012060060720，11应在持“无所谓”态度的人中抽取 72
13、072 人3603 600(2)yz720，y657，z55，故满足条件的(y，z)有：(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共 9 种记本次调查“失效”为事件 A，若调查失效，则 2 100120y3 6000.8，解得 y660.事件 A 包含：(657,63)，(658,62)，(659,61)，共 3 种P(A) .391322如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O 为 AC 中点(1)证明：
14、A1O平面 ABC；(2)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值；解：(1)AA1A1CAC2，且 O 为 AC 中点，A1OAC，又侧面 AA1C1C底面 ABC，交线为 AC，A1O面 A1AC，A1O平面 ABC.(2)如图，以 O 为原点，分别以 OB、OC、OA1所在直线为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知 B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，A(0，1,0)3(0,1，)，令平面 A1AB 的法向量为 n(x，y，z)，A1C3则 nn0，AA1AB而(0,1，)，(1,1,0)，AA13AB可求得一个法向量 n(3，3，)，3所以|cos，n|，A1C|nA1C|n|A1C|62 212171故直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值为.217
