《2019高考数学一轮第八篇平面解析几何第2节圆与方程训练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学一轮第八篇平面解析几何第2节圆与方程训练理（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 2 节节 圆与方程圆与方程【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1,7,9 直线与圆的位置关系2,3,4,8 与圆有关的最值、范围问题5,10,14 与圆有关的轨迹问题6,13,15 直线与圆的综合问题12,13,15 圆与圆的位置关系10,11 基础巩固(时间:30 分钟) 1.直线 y=ax+b 通过第一、二、三象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=r2(r0)的圆心位于( C ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解析:因为直线 y=ax+b 通过第一、二、三象限, 所以 a0,b0, 所以圆(x+a)2+(y+b)2=r2(r0)的圆心(-a,-
2、b)位于第三象限. 故选 C. 2.(2017海口模拟)已知圆 M 与直线 3x-4y=0 及 3x-4y+10=0 都相切,圆心在直线 y=-x-4 上,则 圆 M 的方程为( C )(A)(x+3)2+(y-1)2=1 (B)(x-3)2+(y+1)2=1 (C)(x+3)2+(y+1)2=1 (D)(x-3)2+(y-1)2=1 解析:到直线 3x-4y=0 及 3x-4y+10=0 的距离都相等的直线方程为 3x-4y+5=0,联立方程组解得又两平行线之间的距离为 2,所以所求圆的半径为 1,从而圆M 的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.故选 C. 3.(2017保定一模)若直线
3、x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切,则 a 的值为( D )(A)1(B)1(C) (D) 解析:圆 x2+(y-a)2=1 的圆心坐标为(0,a),半径为 1, 又直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切,所以圆心(0,a)到直线的距离 d=r,即=1,解得 a=.故选 D. 4.(2017沈阳二模)直线 x-3y+3=0 与圆(x-1)2+(y-3)2=10 相交所得弦长为( A )(A)(B)(C)4(D)3解析:圆(x-1)2+(y-3)2=10 的圆心坐标为(1,3),半径 r=,圆心到直线 x-3y+3=0 的距离d=,弦长为 2=.故选 A.5.已知圆 C
4、1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5-4 (B)-1 (C)6-2 (D) 解析:圆 C1,C2的图象如图所示.设 P 是 x 轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1, 同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2| -4. 作 C1关于 x 轴的对称点 C1(2,-3),连接 C1C2,与 x 轴交于点 P,连接 PC1,可知 |PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|P
5、N|的最小值为 5-4.故选 A. 6.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4 (C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设 M(x0,y0)为圆 x2+y2=4 上任一点,PM 中点为 Q(x,y),则所以 代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1.故选 A. 7.(2017东城区调研)当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆的面积取最大值时,直线 y=(k- 1)x+2 的倾斜角 =
6、. 解析:由题意知,圆的半径 r=1,当半径 r 取最大值时,圆的面积 最大,此时 k=0,r=1,所以直线方程为 y=-x+2,则有 tan =-1,又 0,),故 =.答案: 8.已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 . 解析:因为圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a, 所以其圆心为(-1,2),且 5-a0,即 a5. 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称,所以直线过圆心, 所以 2=-2+b,所以 b=4.所以 a-b=a-41. 答案:(-,1) 能力提升(时间:15 分钟)9.(2017南开区模拟)圆心在 y
7、 轴上,且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( B )(A)x2+y2+10y=0(B)x2+y2-10y=0 (C)x2+y2+10x=0(D)x2+y2-10x=0 解析:圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切, 所以圆心在 x 轴上方,设圆的圆心为(0,r),半径为 r.则=r,解得 r=5,所求圆的方程为 x2+(y-5)2=25,即 x2+y2-10y=0. 故选 B. 10.若两圆 x2+y2=m 和 x2+y2+6x-8y-11=0 有公共点,则实数 m 的取值范围是( C )(A)(-,1)(B)(121,+) (C)1,121(D)(1,121) 解
8、析:x2+y2+6x-8y-11=0 化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2=36.圆心距为 d=5,若两圆有公共点,则|6-|56+, 所以 1m121.故选 C. 11.若O:x2+y2=5 与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相 垂直,则线段 AB 的长度是 . 解析:由题意知 OAO1A, 在 RtOO1A 中,|OA|=,|O1A|=2,所以|OO1|=5, 所以由|OO1|AB|=|OA|O1A|,得|AB|=2=4.答案:4 12.(2017中卫二模)已知从C:(x+1)2+(y-2)2=2 外一点 P(x1,y1)向该圆引一
9、条切线,切点 为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点 P 的坐标为 . 解析:如图所示,C:(x+1)2+(y-2)2=2,圆心 C(-1,2), 半径 r=. 因为|PM|=|PO|, 所以|PM|2=|PO|2 即|PC|2-r2=|PO|2, 所以|PO|2+r2=|PC|2,所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即 2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可. 当直线 PO 垂直于直线 2x-4y+3=0 时,即直线 PO 的方程为 2x+y=0 时,|PM|最小,此时 P 点即为两直线的交点,得 P 点坐标为(-,).答案:(
10、-,) 13.(2017唐山调研)已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求|QM|的 最小值. 解:(1)设点 P 的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此方程即为所求.(2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆, 如图所示. 由题意知直线 l2是此圆的切线,连接 CQ,则|QM|=,当|QM|最小时,|CQ|最小,此时 CQl1,|CQ|=4,则|QM|的最小值为
11、=4. 14.已知点(x,y)满足(x-3)2+(y-4)2=9,求: (1)3x+4y 的最大值与最小值; (2)(x+1)2+y2的最小值.解:(1)法一 设圆(x-3)2+(y-4)2=9 的参数方程为( 为 参数),所以 3x+4y=3(3+3cos )+4(4+3sin )=25+9cos +12sin =25+15sin(+),其中tan =, 所以 3x+4y 的最大值为 40,最小值为 10. 法二 设 3x+4y=t,把 t 看作常数, 则 3x+4y=t 是一条直线,直线与圆有公共点,所以3|t-25|1510t40.所以 tmin=10,tmax=40. (2)法一 (x
12、+1)2+y2=(4+3cos )2+(4+3sin )2=41+24(sin +cos )=41+24sin(+), 所以其最小值为 41-24. 法二 设 M(x,y)是圆上的点,圆外一点 M0(-1,0), 则(x+1)2+y2的几何意义是|MM0|2, 而|MM0|的最小值是|M0C|-r(C 为圆(x-3)2+(y-4)2=9 的圆心,r 为 半径),即(-3)2=41-24.15.已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中 点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM
13、|时,求 l 的方程及POM 的面积. 解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4, 设 M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 则(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心,为半径的圆. 由于|OP|=|OM|, 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上, 从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3, 所以 l 的斜率为-, 故 l 的方程为 y=-x+. 又|OM|=|OP|=2,O 到 l 的距离为,|PM|=,所以POM 的面积为.
