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1、 历史上的三次数学危机1历史上，数学的发展有顺利也有曲 折。大的挫折也可以叫做危机，危机也 意 味着挑战，危机的解决就意味着进步。 所 以，危机往往是数学发展的先导。数学 发 展史上有三次数学危机。每一次数学危 机，都是数学的基本部分受到质疑。实 际 上，也恰恰是这三次危机，引发了数学 上 的三次思想解放，大大推动了数学科学 的 发展。2一、第一次数学危机第一次数学危机是由 不能写成 两 个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。3这一危机发生在公元前5世纪，危 机 来源于：当时认为所有的数都能表示为 整 数比，但突然发现 不能表为整数比 。 其实质是： 是无理数，全体整
2、数之比 构 成的是有理数系，有理数系需要扩充， 要 添加无理数。4当时古希腊的欧多克索斯部分地解决 了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关 于“两个量之比”的新说法，回避了 是无 理数的实质，用几何的方法去处理不可公度 比。这样做的结果，使几何的基础牢靠 了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里 得的几何原本中也采用了这一说法， 以致在以后的近二千年中，几何变成了几 乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪， 依赖实数理论的建立。5二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微 积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕 达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危 机则是由牛顿学派的外部、贝克
3、莱大主教 提 出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。61危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学 成 就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有 逻 辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物 体 在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前， 只 能求一段时间内的平均速度，无法求某 一 时刻的瞬时速度。7牛顿的思路是：让时间从 到 ， 这段时间记作 ，而这段时间里 物体走过的距离记作 。比值 便是 到 这段时间内物体的平均速度。牛 顿 设想： 越小，这个平均速度应当越接 近 物体在时刻 的瞬时速度。当 越来 越 小（当然 也越来越小），最后成为无 穷小，将要变成0而
4、还不是0的时候，两 个 无穷小之比 ,就是所要求的瞬时速度。8例如，设自由落体在时间 下落的距 离为 ，有公式 ，其中 是 固 定的重力加速度。我们要求物体在 的 瞬时速度，先求 。 （*）9当 变成无穷小时，右端的 也 变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格， 遭到指责。102）贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈 攻 击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量 ， 究竟是不是0？11 如果是0，（*）式左端当 和 变 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不
5、是0，（*）式右端的 就不 能 任意去掉。在推出（*）式时，假定了 才能 做 除法，所以（*）式的成立是以 为前提 的。那么，为什么又可以让 而求得瞬 时 速度呢？ 因此，牛顿的这一套运算方法，就如 同从 出发，两端同除以0，得出 5=3一样的荒谬。12贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不 是 0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学 家 提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数 学 家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。133）实践是检验真理的唯一标准应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。 “
6、无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基 础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑 上 严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它 ， 只是由于它使用起来方便有效，并且得出的 结 果总是对的。特别是像海王星的发现，那样 鼓 舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的 巨 大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责 。 这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验 真理的唯一标准。”142危机的实质 第一次数学危机的实质是 “ 不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。15其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体 所走的无
7、穷小距离与所用的无穷小时间 之 比”的时候，这种说法本身就是不明确 的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明 ， 所谓“最终的比”，就是分子、分母要成 为 0还不是0时的比例如（*）式中的 gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所 趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了“极限”这 个 词，但并没有明确说清这个词的意思。16德国的莱布尼茨虽然也同时发明了 微 积分，但是也没有明确给出极限的定义 。正因为如此，此后一百年间的数学 家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖 论。所以，由“无穷小”引发的第二次数 学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和 极 限理论作为微积分学的基础。173危机的解决1）必要
8、性微积分虽然在发展，但微积分逻辑 基 础上存在的问题是那样明显，这毕竟是 数 学家的一块心病。18而且，随着时间的推移，研究范围 的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在 研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于 没有严格的极限理论作为基础。数学家们 在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷 级数收敛的问题）。19因此，进入19世纪时，一方面微积分取得的成就超出人们的预料，另一方面，大量的数学结构没有正确的牢固的 逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确 无误的。历史要求为微积分学说奠基。 202）严格的极限理论的建立到19世纪，一批杰出数学家辛勤、 天才的工作，终于逐步建立
9、了严格的极 限 理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立 是 逐步的、漫长的。 21 在18世纪时，人们已经建立了极 限理论，但那是初步的、粗糙的。 达朗贝尔在1754年指出，必须用 可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极 限 理论。但他本人未能提供这样的理论。 19世纪初，捷克数学家波尔查诺 开始将严格的论证引入数学分析，他写 的 无穷的悖论一书中包含许多真知灼 见。22 而做出决定性工作、可称为分 析 学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L. Canchy,17891857）。他在1821 1823年间出版的分析教程和无穷 小 计算讲义是数学史上划时代的著作。 他 对极限给出
10、比较精确的定义，然后用它 定 义连续、导数、微分、定积分和无穷级 数 的收敛性，已与我们现在课本上的差不 太 多了。233）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识后来的一些发现，使人们认识到， 极 限理论的进一步严格化，需要实数理论 的 严格化。微积分或者说数学分析，是在 实 数范围内研究的。但是，下边两件事， 表 明极限概念、连续性、可微性和收敛性 对 实数系的依赖比人们想象的要深奥得多 。24一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特 拉 斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造 了一个“点点连续而点点不可导的函数”。“连续函数”在直观上是函数曲线没有间 断，连在一起，而
11、“函数在一点可导”直观上 是函数曲线在该点有切线。所以在直观上连 续与可导有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续 点上都可导（当然是错误的）。根本不可想 象还会有“点点连续而点点不可导的函数”。 25魏尔斯特拉斯的例子是其中 是奇数， ，使 。26另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann ，18261866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。27这些例子使数学家们越来越明白，在为分析建立一个完善的基础 方面，还需要再深挖一步：即需要理 解实
12、数系的更深刻的性质。28 魏尔斯特拉斯的贡献德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，18151897）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，主要表现在两方面，一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确 的“ ”语言。29“ ”语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述，消 除 了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”，等等。这样一来，分析中的所有基本概念 都可以通过实数和它们的基本运算和关系 精确地表述出来。30总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础
13、。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积 分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论极限理论微积分。而“历史顺序”则正好相反。31实数理论是学习数学分析的难点， 诸如区间套定理，有限复盖定理等，在数 学学院，通常也只有数学专业才比较彻底 地讲授。324）极限的“ ”定义及“贝克莱 悖 论” 的消除 极限的“ ”定义33定义：设函数 在 的附近都有定 义，如果有一个确定的实数 （无论 多 么小的正数 ）。都 （都能找到一个正数 ，依赖 于 ），使当 时（满足不等 式 的所有不等于 的 ），有 （这些 对应的函数值 与 的差
14、小于预先给定的任意小的 ）我们 就 说“函数 在 趋近于 时，有极限 ” 。记为 。 34由极限的这个 “ ”定义，可以求出一些基本的极限，并严格地建立一整 套丰富的极限理论。简单说，例如有两个相等的函数，取极限后仍相等 ；两个函数，和的极限等于极限的和 。等等。35 “贝克莱悖论”的消除回到牛顿的（*）式上： 这是在 （即 ）条件下， 得 到的等式；它表明 时间内物体的平均 速 度为 。（*）式等号两边都是 的函数。然后，我们把物体在 时刻的 瞬 时速度定义为：上述平均速度当 趋于0 时的极限，即物体在 时刻的瞬时速度= 。36下边我们对（*）式的等号两边同时 取 极限 ，根据“两个相等的函数取 极 限后仍相等”，得瞬时速度=再根据“两个函数和的极限等于极限的和”，得然后再求极限得 37上述过程所得结论与牛顿原先的结 论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑 基 础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 是 不是0？”，在这里给出了明确的回答：。这里也没有“最终比”或“无限趋近于 ”那
