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1、第五章 刚体定轴转动 角动量守恒定律内容内容Contentschapter 5刚体定轴转动的描述rotation of rigid-body with a fixed axis刚体转动中的功和能角动量与角动量守恒angular momentum and law of conservation of angular momentum 刚体定轴转动定律law of rotation of rigid-bodywork and energy of rotating rigid-body刚体第一节5 - 1rotation of rigid- body with a fixed axis定轴转动描述刚
2、体转轴1.角坐标转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+t)参考 方向刚体中任 一点2.角位移3.角速度常量静止匀角速变角速4.角加速度变角加速常量 匀角加速匀角速用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则 的运动方程刚体定轴转动例rad-1srad-2sradrad-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动例任意时刻的恒量且 t = 0 时 得由得或由即例定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时 角加速度为 ，刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小瞬时线速度 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度这是定轴转动中线量与角量的基本关系由得对比质点直线
3、运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度角速度加速度角加速度位移角位移匀速直线运动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变角速定轴转动第二节5 - 2angular momentum law of conservation of angular momentum 质点的角动量rOmv速度位矢质量角夹rvrvL大量天文观测表明rmvsin常量行星绕日作椭圆轨道运动时服从大小：Lrmvsin方向：rmv()rpLrmv位矢对动量的叉积质点角动量定理由得两平行矢量的叉乘积为零即上式又是 力矩其大小的操作定义，微分形式如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向，用代数法求合力矩。即质
4、点 对给定参考点 的角动量的时间变化率所受的合外力矩等于积分形式例如，单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水平位置静止 释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t 下摆至铅垂位置， 角动量 大小为 L = m v r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v r = m r 2gr 。即 质点 对给定参考点 的冲量矩 等于 角动量的增量由有称为 冲量矩角动量的增量积分得质点角动量守恒根据质点的 角动量定理 若则即常矢量若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服
5、从角动量守恒定律。当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为零时，质点对该点的角动量为常量（即时间变化率 为零）。开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积证明时刻 m 对 O 的角动量大小为即因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。瞬间位矢扫过的微面积则常量（称为掠面速率）故，位矢在相同时间内扫过的面积相等刚体的角动量刚体的转动惯量分立质点结构的刚体转轴若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴0.75直杆匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行移轴定理对新轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴对心轴的
6、平移量例如：时代入可得端质量连续分布的刚体圆盘匀质薄圆盘对心垂轴的取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元球体的薄圆盘的转动惯量为匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴 薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为其中常用公式LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面2 2I =m R12 3I =m L1转轴通过端点与棒垂直角动量定理刚体角动量守恒由刚体所受合外力矩若则即知回转仪万 向 支 架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒恒矢量回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度 高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受
7、基座改向的影响基 座回转体 （转动惯量 ）转台 角动量守恒的另一类现象 变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩张臂大小滑冰 角动量守恒的另一类现象 变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己 转动起来收臂大小共轴系统 共轴系统若外则恒矢量轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转 向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初 得人台人台轮轮导致人台 反向转动直升机 直升飞机防止机身旋动的措施用两个对 转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）例A、B两
8、轮共轴 A以wA作惯性转动以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量末态角动量得两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度wAB例 以弹、棒为系统 击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在 铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒 。该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒弹嵌于棒子弹摆 最 大 转 角木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆， 非保守内力的功为零，由系统动能定理外力（重 力）的功 外上摆末动能上摆初动能其中联立解得例满足什么条件时，小球（视为 质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小 球恰好静止。直棒起摆角速度匀质直棒与单摆 小球的质量相等 两者共面共转轴水 平 静 止 释
9、放静 悬弹碰忽略摩擦联立解得0.5771.861对摆球、直棒系统小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，由动能定理得其中球、棒相碰瞬间在铅垂位置 ，系统受合外力矩为零，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量球棒球棒弹碰阶段弹碰过程能量守恒第三节5 - 3law of rotation of rigid-body with a fixed axis刚体转动定律引言质 点的运动定律或刚体平动F = m a惯性质量合 外 力合加速度有力矩作用是时刚体定轴转动的运动定律？转动定律由得或即应用匀直细 杆一端为 轴水平静 止释放，求例T1T2aRm1m2m轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 aT1T
10、2T2T1G1 G2T2T1a aa( T2 T1 ) R = Iaa = RaI = m R 22转动T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a平动线-角联立求解，得a=m1 m1+ m2+ gm2 m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g复合运动例Rm1m细绳缠绕轮缘R m（A）（B）恒力F滑轮角加速度 a 细绳线加速度 a（B） 复合运动（A）纯转动例Rm1m2mm= 5kg m2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2aaam1m2m复合运动，和 分别应用牛顿定律和转动定律 m1 g T1 = m1a
11、T2 m2 g = m2a ( T1 T2 ) R = Ia及a = RaI = mR221得a =(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)g(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)故由R(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程例两者瞬时角加速度之比21 3q1q1 321根据短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关qq两匀直细杆地面第四节5 - 4work and energy of rotating rigid-bodywith a fixed axis力矩的功亦称力矩的元功力的元功作的总功其瞬时功率转动动能刚体中任一质
12、元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩 是各微环带摩擦元力矩 的积分环带面积 环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功得粗 糙 水 平 面转轴平放一圆盘刚体的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由 力矩的元功转动定律则合外力矩的功转动动能的增量称为例匀质圆盘盘缘另固 连一质点水平静 止释放通过盘心垂直 盘面的水平轴圆盘下摆 时质点 的 角速度、切向、法向加速度 的大小对系统外力矩的功系统转动动能增量其中得由转动定律得则例外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴例段，外力矩作正功段，外力矩作负功合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移 代入得摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放含平动的转动问题机械外力非保守内力矩力 力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例 忽略 摩擦外力 力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势作业HOME WORK5 - 115 - 1 55 - 1 85 - 2 15 - 2 4
