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1、1.函数的定义域(1)函数的定义域是指 .（2）求定义域的步骤是：写出使函数式有意义的不等式（组）；解不等式组；写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出）（3）常见基本初等函数的定义域：分式函数中分母不等于零.偶尔根式函数、被开方式大于或等于0. 2.2 函数的定义域、值域 要点梳理使函数有意义的自变量的取值范围一次函数、二次函数的定义域为 .y=ax,y=sinx,y=cosx,定义域均为 .y=tanx,定义域为 .函数f(x)=x0的定义域为 .2.函数的值域(1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫, 叫函数的值域.RRxxR且x0函数值函数值的集合（2）基本初等函数
2、的值域y=kx+b(k0)的值域是 .y=ax2+bx+c(a0)的值域是:当a0时,值域为 ；当a0且a1)的值域是 .y=logax(a0且a1)的值域是 .y=sinx,y=cosx的值域是 .y=tanx的值域是 .RyyR且y0RR(0,+)-1,11.(2008全国理，1)函数 的定义域为 （ ）A.xx0 B.xx1C.xx10 D. x0x1解析 要使函数有意义，需函数的定义域为xx10 基础自测C2.（2007北京理，2）函数f(x)=3x(0x2)的反函数的定 义域为 （ ）A.（0,+） B.（1，9 C.（0，1） D.9，+）解析 0x2,13x9,f(x)的值域为(
3、1,9,f(x)的反函数的定义域为（1，9.3.若函数f(x)=loga(x+1)(a0且a1)的定义域和值域都是0，1，则a等于 （ ）A. B. C. D.2解析 0x1,1x+12,又0loga(x+1)1,故a1,且loga2=1, a=2.DD4.函数 的值域是 （ ）A. B.C. D.解析 B5.若函数y=x2-3x-4的定义域为0，m，值域为则m的取值范围是 （ ）A.B.C. D.解析故由二次函数图象可知解得 B求下列函数的定义域（1）(2)(3)【思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零； 开偶次方根，被开方数大于等于零.解 (1)由题意得 化简得题型一 求函数的定义
4、域故函数的定义域为xx0且x-1.(2)由题意可得故函数的定义域为(3)要使函数有意义，必须有x1,故函数的定义域为1，+）探究拓展 求函数的定义域，实质上是解不等式（组）的过 程，具体来说，求函数定义域的步骤为：列出使函数有意义的x适合的不等式（组）；解这个不等式（组）；把不等式（组）的解表示为集合或区间的形式作为函数的定义域.设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的 定义域.（1）y=f(3x)；(2)（3）（4）y=f(x+a)+f(x-a).【思维启迪】简单复合函数的定义域要用整体代换的思想列出x满足的条件，再通过解不等式（组）解出x的范围.解（1）03x1,故y=f(3x)的
5、定义域为题型二 抽象函数的定义域（2）仿（1）解得定义域为1，+）（3）由条件，y的定义域是 定义域的交集.列出不等式组故 的定义域为（4）由条件得 讨论：当 即 时，定义域为a,1-a;当 即 时，定义域为-a,1+a综上所述：当 时，定义域为a,1-a;当 时，定义域为-a,1+a.探究拓展 对于抽象函数的定义域问题,要注意如下两点：（1）fg(x)的定义域为a,b指的是x的取值范围为a,b，而不是g(x)的范围为a,b，如：f(3x-1)的定义域为1，2，指的是f(3x-1)中的x的范围是1x2.(2)若f(x)=g(x)+h(x),则f(x)的定义域为g(x)的定义域和h(x)的定义域
6、的交集.求下列函数的值域：（1） （2）（3）【思维启迪】（1）是分式型可考虑分离常数，配方法或者 判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性 法.（3）可结合反函数求解.解（1）方法一 （配方法）题型三 求函数的值域而方法二 （判别式法）由y=1时，x ，y1.又xR,必须=（1-y）2-4y(y-1)0.y1,函数的值域为（2）方法一（单调性法）定义域 函数y=x, 均在上递增，故 函数的值域为方法二 （换元法）令 则t0 ，且（3）由 得，ex0,即 解得-11),求a、b的值.【思维启迪】求出f(x)在1,b上的值域，根据值域已知的条件构建方程即可解.解 2分其对称轴为x=1
7、,即1，b为f(x)的单调递增区间.4分6分8分由解得 12分题型四 根据定义域、值域求参数的取值探究拓展 本题主要考查一元二次函数的定义域和值域问题，主要体现了配方法求函数的值域.由于含有字母，在分析时，要考虑字母的范围.基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的定义域和值域都有必然的联系.方法与技巧1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且 它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨
8、论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域. 3. 函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“=”成立的条件. 失误与防范1.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用.函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最值的求法.2.对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合
9、不等式的性质.1.求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）解 (1)由所以-30，则当 即a2时，函数的定义域为 ；当 即0k,若00,a0时，定义域为R.9.(1)(-3,0)（2，3） （2）a010. （2007北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其 长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.解 （1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图）,则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程解得其定义域为x0xr.（2）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),00;当 时,f(x)0,所以 是f(x)的最大值.因此，当 时，S也取得最大值，最大值为即梯形面积S的最大值为11.（1） （2）12. （1）略 (2)0，1 （3） 返回
