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1、第二章 正弦交流电路n 所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源而且电压和电流 均按正弦规律变化的电路。交流发电机中所产生的电动势 是随时间按正弦规律变化的。是常用的正弦电源。在日常 生活中和生产上应用的交流电，一般都是指正弦交流电。n 21 正弦交流电n的基本概念n 一、正弦电动势n的产生n图21是两极交流n发电机的示意图。n 在静止的磁极N和S之间，有一个可转动的圆柱形铁芯， 其上绕着线圈。铁芯与线圈合称为电枢。线圈的两端分别 接到两只相互绝缘的铜制滑环上。滑环固定在转轴上，并 与转轴绝缘。通过紧压在滑环上的静止的电刷，使线圈与 外电路接通。1n采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆
2、周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面OO,B 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm。设线圈的一条有效边AA(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为，则AA边所处位置的磁感应强度为(见图 22) BBmsinn当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效n边因切 割磁力线而产生感n应电动势。其表达式为n eEmsint (21)2n显然，感应电动势是随时间t按正弦规律变化的，其波形如 图 (a)所示。这里是从最简单的情况考虑的，此时t=0
3、，=0 。若从t0时，e 时考虑，也就是假定不是从线圈在磁 中性面开始计算时间，而是在线圈与磁中性面之间有一夹角 e时开始计算时间，则经过ts后，t+e则线圈的电动势 为 eEmsin(t+e ) 这就是正弦电动势瞬时值的一般表达 式，n其波形如图23(b)n所示。n (a)初相位等于零; (b)初相位不等于零 ；n正弦电压和电流的一般表达式分别为n u=Umsin(t+u) i=Imsin(t+i) n式中，Em、Um、Im称为正弦量的最大值或幅值；称为角速 度或角频率；e、u 、i 称为初相位。如果它们均为已知 ，则以上正弦量便能唯一地确定下来，常称它们为正弦量的 三要素。3二、正弦量的三
4、要素n (一)最大值(幅值)n 用小写字母表示的e、u、i是随时间按正弦规律变化的，它们 是正弦量在任一瞬间的数值；称为瞬时值。n 瞬时值在某一时刻会出现最大数值，这个最大的瞬时值称为正 弦量的最大值或幅值，电工中用大写字母加下标“m”表示，如Em 、Um 、Im、 m分别代表电动势、电压、电流及磁通的最大值。n (二)角频率、周期和频率n 正弦量完成一个波形的交变称为一周波，简称一周。变化一周 所需的时间称为周期，用符号T表示，周期的单位为秒(s)。n 交流电每秒变化的周期数称为频率，用符号f表示。由于周期T 等于正弦量变化一周所需的时间，因此周期和频率互为倒数，即 f1/T 或 T=1/f
5、 n 频率的单位采用赫兹，n简称赫，用符号Hz表示。n n 4n由于角频率 表示每秒钟内正弦量在变化的过程中所经历的电 角度(指正弦量随时间变化的弧度数)，因此当tT(变化一周)时 ，经历的电角度为2，即2T则2/T2f ，的单位为 弧度每秒，用符号rad/s表示。n 对于图所示的两极交流发电机，其磁极对数P1(即两个极 ，为一对极)，当转过的空间角度为2时，磁感应强度B便按正 弦规律变化一周。显然，当P1时电枢旋转一周，线圈的感应 电动势e按正弦规律变化一周。n 对于两对极四个磁极，见图 (a)的发电机，即其磁极对数P 2，当转过的空间角度为2时，磁感应强度B按正弦规律交变 两周，如图 (b
6、)所示。显然，当P2时，线圈旋转一周，电动 势e便按正弦规律交变两周，n其波形如图26所示。依此n类推，对于2P个磁极的发电机，n电枢旋转一周时，e交变p周，n通常，发电机的转速n用转每n分(rmin)表示，则电动势的n频率为f=Pn/60 5n上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。n 周期T、频率f及角频率反映了正弦量随时间作 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。6n例21 设正弦交流电
7、压的瞬时值表达式为u220 sin314tV 。(1)试求它的最大值Um，并求第一次出现最大值的时刻，以及 在tl600s和t0.015s时的瞬时值。(2)求角频率、频率f、 周期T。n 解(1)电压最大值 Um2202311(v)n 因为t0时，u 0，所以第一次出现最大值时，t/2， 即 314t/2 因此 t/(2314)=0.005(s)n 在t1/600s时，电压瞬时值为n u220 sin3141/600=311sin/6155.5（V)n 在t0.015s时，电压瞬时值为n u2202sm3140.015311sin3/2=311(V)n 由计算结果可知，电压瞬时值有正、负之分。
8、这说明交流电 和直流电一样，也有一个参考方向与实际方向是否一致的问题 。一般电路中所标电压电流方向均为参考方向，当参考方向与 实际方向一致时，为正值；反之为负值。n (2)由u的瞬时值表达式可知，n 314rads ; f=/2=314/(23.14)=50(Hz); n T1/f=1/50=0.02(s)7n 为了方便分析，常常人为地选取坐标原点。这样，便能将正弦 量以函数式表示。在图23(a)及图24中，坐标原点均选在e的 正半波起始点，即t0时，e=0，则正弦电动势如式(21)所示 ，即 e=Emsint。若在计算起点(坐标原点)，正弦量的值不为 零，则e的表达式如式(22)所示，即 e
9、Emsin(t+c)n上两式中的角度t和(t+c)称为相位角，简称相位。它决定了 正弦量随时间变化的进程或状态。换言之，它决定着正弦量在交 变过程中瞬时值的数值及其正、负。n 计时起点(t0时刻)的相位角称为初相位角，简称初相位。初 相位角反映正弦量的初始值，它可以由正弦量在一周内由负变正 的过零点与计时起点(对应于波形图中坐标原点的位置)之间的间 隔决定。过零点在坐标原点左边n时初相位为正，在坐标原点右n边时为负。例如，在图27中，n10，20，称u1超前u2一个角，或称u2滞 后u1一个角；当12。时，这时0，称u1滞后u2一个 角，或称u2超前u1一个角。因为习惯上取正弦量的初相位 18
10、00，所以两正弦量超前或滞后的角度一般在土1800以内 。n 当两同频率的正弦量具有相同的初相位，即相位差1 20时，称它们同相；900时，称它们正交； 1800时，称它们反相。9n例2-2 已知i1I1msint，i2I2msint，i3I3msin(t 1800)。试画出它们的波形图，并比较它们的相位关系。n解 画出i1、i2、i3的波形如图28所示。由图可见i1、i2变 化状态相同，同时经过零点，也同时达到最大值，所以为 同相关系，即相位差0。而i3与i1或i3与i2之间变化状态 相反，一个增加则另一个减少，一个达正最大值时另一个 则达负最大值，所以它们是反相关系，即相位差1800 。n
11、 图28 例22图10三、正弦交流电的有效值和平均值n(一)有效值n 正弦交流电瞬时值的大小和方向是随时间而不断变化的， 不宜用它来计算和测量交流电的大小，以及衡量其作功的能 力。而交流电的最大值仅是某瞬时的恒定值，也不宜用来计 算交流电的大小，及计算电功率和电能。为此，引入有效值 这个概念，用它反映交流电的大小，即反映其在电路中产生 的效果，如光、热、机械等效应。n 有效值是通过电流的热效应定义的。如图 (a)、(b)所示， 在阻值相同的两个电阻元件中，分别通以交流电流i和直流电 流I，如果在同样长的通电n时间内，二者产生的热量n相同，则称这个直流电流nI为交流电流i的有效值。 11n所以交
12、流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。n 设正弦电流iImsin(t+)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/2倍，如图29(c)所示，即 n IIm/2 0.707Im (29)n 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为n UUm/2 ; EUm/2n 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它
13、不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用 。12(二)平均值n因为正弦波形的上、下半周是对称的，所以正弦交流 电在一个周期内的平均值应等于零。为此，有时将正 弦交流电的绝对值(如电流绝对值i)在一个周期内 的平均值，定义为它的平均值。根据这一定义，经过 数学运算，可求出正弦电流的平均值与其最大值之间 的关系式为 n Iav2/Im=0.637Imn 同理，正弦电动势和电压的平均值与其最大值之 间的关系分别为 n Eav2/Em=0.637Em，n Uav=2/Um0.637Em1322 正弦交流电的表示法n一、三角函数式表示法 n 正弦交流电的瞬时值采用三角函数式n表示。这种方法称为解
14、析法。如前所述，n正弦电动势、电压和电流的解析式分别为n eEmsin(t+e)n uUmsin(t+u)n iImsin(t+i)n 二、波形图表示法n 根据正弦交流电三角函数式的计算数据，用与它对应的正弦曲 线图形表示的方法，称为波形图表示法，如图所示。这种方法也 称为曲线法，其曲线图也称为波形图。由图可知，已知u1和u2， 求u=ul+u2的步骤为：首先，画出u1和u2的波形图，然后，将u1 、u2每一瞬时的数值代数相加，得出总电压u的波形，量出此波 形的最大值和初相位，便可写出它的瞬时值表达式。14三、相量表示法 n由上节已知，一个正弦量是由其三要素(最大值、初相位和角 频率)确定的。
15、例如，一个正弦电压可表示为 u=Umsin(t+u)n由于在线性电路中，正弦激励的所有稳态响应(即电路中各部 分的稳态电压和稳态电流)，仍为与激励同频率的正弦量，因 此在分析和计算正弦电路的各电压和电流时，只需确定它们 的最大值和初相位就行了。我们把表示正弦交流电的复数称 为相量。下面介绍用一个复数来表示正弦量的方法，即相量 表示法。n 工程上，常将上述正弦电压的复数写成下列形式n mUmun为区别于普通复数，称 m为正弦电压u的相量。其中，Um是 正弦电压的最大值，u为其初相位。注意；一个正弦量，仅 对应一个相量。 同理，对于正弦电流 iImsin(t十i) n其相量为 m=Imi 15n相量也可以用
