假设检验48040

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1、假设检验的提出以及基本思想 一.问题的提出 在实际中存在着许多不同于参数估计的问题 ，请看下面的例子 例1. 某厂有一批产品,按国家规定标准,次品 率不得超过4才能出厂。现从中任取10件进行 检验(每次取1件，取后放回)，发现有4件次品， 问该批产品能否出厂？ 从频率的角度来看，这批产品不能出厂，但我们现 在所关心的问题是如何根据抽样得到的次品率4/10 来推断整批产品的次品率是否超过4%第九章 假设检验一般的方法是：首先假设该批产品的次品率 p4%，然后利用抽样的结果来判断这一假设是 否成立。若以X表示折断力，那么这个例子的问题就化为： 如何根据抽样的结果来判断等式：“EX570”是 否成立

2、。例2.某车间生产的一种铜丝，其折断力服从 N(570, 64)。现改变生产工艺，并从新产品中抽 取10个样品进行测量，得 575.2(N),问折断 力大小与原来是否相同？(假定方差不会改变)。例3.某厂生产的一种钢筋，其抗断强度一直服 从正态分布，今换一批材料生产，问其抗断强 度是否仍服从正态分布？更一般的问题是：如何根据抽样的结果来判 断总体X的分布函数F(x)是否等于给定的函数 F0(x)。上述例子所代表的问题是很广泛的，它们 的共同特点是：先对总体的参数或总体的分布 函数的形式作某种假设H0，然后由抽样结果对假 设H0是否成立进行推断。为此需要建立检验假设 的方法。在数理统计学中，称检

3、验假设H0的方法 为假设检验。 在假设检验中，通常把所作的那个需要我们去 检验是否为真的假设H0称为原假设或者零假设 。如例1中的假设H0：p4%，例2中的假设H0： EX570,等等。其中，例1，例2是对总体参数 的假设进行判断，这类问题称为参数的假设检 验，例3是对总体分布形式的假设进行判断， 这类问题称为分布的假设检验。二.假设检验的基本思想检验假设的方法，其依据是“小概率事件 在一次试验中实际上是不可能发生”原理(概率 论中称它为实际推断原理).它是指人们根据长期 的经验坚持这样一个信念：概率很小的事件在一 次实际试验中是不可能发生的。如果发生了，人 们仍然坚持上述信念，而宁愿认为该事

4、件的前提 条件起了变化。例如，认为所给有关数据（资料 ）不够准确，或认为该事件的发生并非随机性， 而是人为安排的，或认为该事件的发生属一种反 常现象等等。小概率原理又称实际推断原理，它是概率论 中一个基本而有实际价值的原理，在日常生活中 也有广泛应用。人们出差，旅行可以放心大胆地 乘坐火车，原因是火车出事故这事件的概率 很小，在一次试验（乘坐一次火车）中，这个小 概率事件实际上不会发生的。第一节 假设检验的概念1.定义： 先对总体X的分布函数或参数提出假 设,然后通过抽样并根据样本提供的信息对假设 的正确性进行推断,作出接受或拒绝假设的决策 .这一过程称为假设检验.2.参数假设检验和非参数假设

5、检验3.理论依据实际推断原理:小概率事件在一次试验中(几 乎)是不可能发生的.某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2, 而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要 求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:H0 : = 68 称为原假设或零假设 原假设的对立面: H1 : 68 称为备择假设现从该厂生产的螺钉中抽取容量为 36 的样本, 其样本均值为 ,问原假设是否正确?引 例 若原假设正确, 则故 取较大值是小概率事件因而 ,即偏离68不应该太远, 是小概率事件, 偏离较远 由于规定 为小概率事件的概率大小,通常取

6、= 0.05, 0.01,例如, 取 = 0.05 , 则因此, 可以确定一个常数 c , 使得由称 的取值区间( 66.824 , 69.18 )为检验的接受域 (实际上没理由拒绝),现落入接受域,则接受原假设 H0: = 68( ,66.824 ) 与 ( 69.18 , + )为检验的拒绝域而区间由引例可见,在给定 的前提下,接受还是拒绝原假设完全取决于样本值, 因此所作检验 可能导致以下两类错误的产生： 第一类错误弃真错误第二类错误取伪错误H0 为真H0 为假真实情况所作判断接受 H0拒绝 H0正确正确第一类错误(弃真) 第二类错误(取伪)假设检验的两类错误犯第一类错误的概率通常记为

7、犯第二类错误的概率通常记为 希望所用的检验方法尽量少犯错误,但不能完全排除犯错误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本的容量给定的情形下, 不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大. 假设检验的指导思想是控制犯第一类错误的概率不超过 ,然后, 若有必要,通过增大样本容量的方法,减少 . 第二节 正态总体均值和方差的假设检验 一. 设XN(,2),而2 为已知. U检验 (1)已知2.待检验的假设:H0:= 0,检验水平:(给定的小量) - 双边检验 第一步 提出假设 H0: =0(原假设);H1: 0(备选假设). 第二步 构建检验统计量第三步 确定拒绝域第四步

8、由样本提供的信息计算出 的值 ,并对H0的正确性进行推断.若 则拒绝原假设(H0伪)若 则接受原假设(H0真)第五步 给出结论假设检验统计量拒绝域推断结论例1 根据大量调查得知,我国健康成年男子的脉搏平 均为72次/分，标准差为6.4次/分,现从某体院男生中 ,随机抽出25人,测得平均脉搏为68.6次/分.根据经验 脉搏X服从正态分布.如果标准差不变,试问该体院男 生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异？并求 出体院男生脉搏的置信区间.解：此例是在已知=6.4的情况下，第二步 统计量第一步 检验假设H0:=72,对于=0.05，查标准正态分布表得因为|u0|=2.6561.96，故拒绝H0.

9、第四步 现在n=25, =68.6,第三步 确定拒绝域拒绝域: |u|1.96第五步 结论该体院男生的脉搏与一般健康 成年男子的脉搏存在差异。由于所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为66.1 , 71.1注：假设检验过程中的两类错误（判断失误）（1）当判断H0伪时，可能实际情况为H0真 此为第一类错误（弃真）（2）当判断H0真时，可能实际情况为H0伪此为第二类错误（纳伪）H0 原假设; H1 备选假设第一步 提出假设 H0: =0(原假设);H1: 0(备选假设).第二步 构建检验统计量（2）（右边检验）H0:0；H1： 0， 此时样本信息显示 0第三步 确定拒绝域第四步 由样本提供的信息

10、计算出 的值 ,并对H0的正确性进行推断.若 则拒绝原假设(H0伪)若 则接受原假设(H0真)第五步 给出结论例2 已知某零件的质量XN(,2),由经验知 =10g, 2=0.05.技术改新后,抽取8个样品,测 得质量(单位:g)为 9.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0, 若方差不变,问平均质量是否比10为小？ (取=0.05)解 本例是一个左边检验问题, 检验假设：选取统计量在H0为真的条件下由样本值计算出计算的试验值并比较查标准正态分布表得故接受假设例3 某厂生产的一种铜丝，它的主要质量指标 是折断力大小。根据以往资料分析，可以认为 折断力X服从正态分布，

11、且数学期望EX570 （N），标准差是8（N）。今换了原材料新 生产一批铜丝，并从中抽出10个样品，测得折 断力（单位：N）为：578 572 568 570 572570 570 572 596 584 从性能上看，估计折断力的方差不会发生变化 ，问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝 的折断力较大？（取=0.05）解：(1)假设(2)计算统计量算出575.2的值，(3)当=0.05时，查标准正态分布表得临界值(4)比较 与 的值的大小。现在 (5) 拒绝假设H0即接受H1.也就是说新生产 的铜丝的折断力比以往生产的铜丝的折断力 要大.以上三种检验法由于都是使用U的分布，故又 名U检验法.1

12、. 未知方差2， 检验假设H0:= 0 由于2未知，这时U已不是统计量，因此， 我们很自然地用2的无偏估计量S2来代替2， 选取检验函数为检验H0: = 0的统计量。由第七章定理四得二.2未知时，均值的假设检验所以在H0为真时,类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给 定的检验水平，查t(n-1)表得 使得即得是一个小概率事件 由样本值算出 ,然后与 相比较,做出判断:若 ,则拒绝假设H0;若 ,则接受假设H0.2. 未知方差2， 检验假设 H0:=0; H1:0(事先算出样本值 ,才提这样的检验假设 )所以在H0为真时,选取检验用的统计量类似于前面的讨论，采用单边检验，对于 给定的检验水平，查

13、t(n-1)表得使得即得是一个小概率事件由样本值算出然后与相比较,做出判断:若则拒绝假设H0,接受H1 ;则接受假设H0.若 3. 未知方差2， 检验假设 H0:=0; H1:33.92，拒绝2=0.0004的假设， 即认为改革后的活塞直径方差大于改革前，因此 下一步改革应朝相反方向进行。对于单边的假设检验给出直观感觉第三节 二正态总体均值差和方差比的假设检验在实际问题中，我们还常遇到两个总体均 值的比较问题。设总体 且X与Y相互独立。 为来自于X的样本，样 本均值为 ，样本方差为 ； 为来自于Y的样本，样本均值为 ，样本方 差为 。下面分类进行讨论。一.二正态总体均值差的假设检验。1. 已知 和 ，检验假设选取作为检验统计量，且在假设H0成立的条件下知 UN(0，1)。于是对给定的，查标准正态分布表 得 ，使于是，得到检验的拒绝域 ，即在由样本值算出统计量U的值，若 ，则拒绝H0；若 ，则接受H0。