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1、其它振动模式 薄圆片压电振子的径向伸缩振动; 其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄 球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动振动模式材料参数等效电路器件设计阻抗、导纳薄圆片压电振子的径向振动对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数 s11=s22的压电晶体，例如钛酸钡、铌酸 锂等晶体，可用它的z切割薄圆片的径 向振动。 用柱坐标（O-rz），圆片面与z轴垂直 。因为是薄圆片，所以可以近似认为垂 直于圆片面方向的应力Tz=0。薄圆片压电振子的压电方程组因为薄圆片只有径向伸缩形变，所以沿r 方向和方向的Tr0，T0，而切应力 Tr=Trz=Tz=0。因为电极面就在圆片面上 ，所以只有沿z方向的电场强度分量
2、Ez0 ，而沿r和方向的电场强度分量Er=E=0 。 又因电极面是等位面，故有（Ez/r）=0 。选E、T为自变量，并注意到弹性柔顺常 数s11=s22以及压电常数d31=d32，于是薄圆 片压电振子的压电方程组为：（5-37）第二类压电方程组若以（S、E）为自变量，有（5-37）式可得实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性 柔顺常数sE11、sE12，将Y=1/sE11，=- sE12/sE11关系代入上式得：（5-38）式就是以（S、E）为自变量，用 柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其中沿 r方向的伸缩应变Sr=（ur/r），沿方 向的伸缩应变S=ur/r+(u/)/r。因为 薄圆片的径向伸缩
3、振动具有圆对称性，所 以(u/)=0。在此情况下，沿方向的 伸缩应变简化为S=ur/r。薄圆片压电振子的振动方程若圆片密度为，则小的质量为（见图5 -7）；若为小块bcde沿径向的位移 rddr，则小块沿径向加速度为 2ur/t2。小块的运动方程为：图5-7 薄圆片压电振子的质量元由于dr和d都很小，故有忽略T与T的差别（即认为T=T）。 将这些结果代入到上式后，即得小块的运 动微分方程式为，即：（5-39 ） 将压电方程组（5-38）式代入上式，并 注意到（Ez/r）=0，即得利用关系代入薄圆片压电振子的波动方程 。（5-40）其中波速：波动方程式的解薄圆片压电振子的波动方程式的解为（5-4
4、1）其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的 边界为机械自由，则在边界上的应力Tr等 于零。即由（5-38）式的第一式若电场强度分量为: 并注意到代入到上式得： （5-42） 利用边界条件r=a时，Tr|a=0，即可确定 任意常数A，由即得（5-43）将（5-43）式代入到（5-41）式即得满足 自由边界条件的解为(5-44)由（5-44）式代表的波形，如图5-8所示。 图 5-8 自由圆片的径向伸缩振动（a）自 由圆片中的波形（b）自由圆片的伸缩情况r-a0at= 0ur( r,0 )0t= / rur( r, /r)将（5-43）式代入到（5-42
5、）式即得沿 r方向的伸缩应力为（5-45）沿方向的伸缩应力为:（5-46）沿r方向和方向的伸缩应变及电位移为: （5-47） 薄圆片压电振子的等效电阻 通过压电振子电极面的电流I为而电极面上的电荷Q为积分时注意到：即得于是得到电流为（5-48）薄圆片压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗Z为将（5-48）式代入上式的因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为以及 将这些关系代入上式得(5-49)薄圆片压电振子的等效阻抗k=/谐振频率和机电耦合系数谐振时压电振子的等效阻抗Z=0，即 G=1/Z=，这就要求即：或：（5-50）其中：r=2fr，fr=谐振频率。钛酸钡的泊松比约为=0.30，代入上式：查贝
6、塞尔函数的数值表，可得上式最小 的根为:（5-51）由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为（5-52） 同理可得：反谐振时，压电振子的等效阻抗Z=，即 G=1/Z=0，这就要求，（5-53）因为反谐振频率fa稍大于谐振频率fr，故 可假设将J0和J1在谐振频率处用泰勒级数展开得（5-54） 将（5-54）式代入（5-53）式后，(5-53 ）式分子为:（5-55 ）(5-53）式分母为由（5-50）式知或者将这些关系代入到（5-55）式得最后得到即：（5-56）由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合 系数kp为或者（5-57）（5-58） 谐振频率关系式（5-52）式以及机电耦合系 数关系式（5-5
7、7）式对压电陶瓷也成立。实 验上常用（5-52）式确定材料的杨氏模量Y ，（5-57）式确定材料的机电耦合系数kp， 通过低频电容Clow的测量，确定介电常数:以及压电常数:至于泊松比，则可通过下式确定：（5-59） 其中：fr0=薄圆片压电振子的基频，fr1=薄 圆片压电振子的一次谐波频率。（确切的 说法是fr0为薄圆片的基音频率，fr1为薄圆 片的一次泛音频率，对于压电陶瓷 fr02.61 fr1左右）。（5-59）式的适用范 围是：（5-60）薄圆片压电振子的径向伸缩 振动（小结）介电常数半径a；厚度lt；低频电容Clowfr0:薄圆片压电振子的基频，fr1:薄圆 片压电振子的一次谐波频
8、率。杨氏模量压电常数平面机电 耦合系数其它压电振子 薄圆环压电振子的径向振动 薄球壳的球径向振动 薄片的厚度伸缩振动 薄圆环压电振子的径向振动 如图5-9所示，薄圆环的极化方向与z轴平行（即 轴向极化），平均半径为r ，厚度为lt，宽度为 lw，并有rlt以及rlw.设圆环的方向为2方向， 极化方向为3方向，增加的方向为1方向。因为圆 环的半径远大于圆环的宽度和厚度,所以圆环在外 加电场的作用下，可以认为只产生轴对称的径向 振动.除了沿圆周（即切向）的应力T1（即T）外 ,其余的应力、切应力皆等于零。 图 5-9 薄圆环的径向振动又与3方向垂直的电极面是等位面，所以 可以认为E1=E2=0。选
9、（T、E）为独立变 量，即得薄圆环的压电方程组为，（5-61）考虑薄圆环上的一小块（如图5-9所示 ），作用在小块上的径向力分量为：（5-62）由牛顿第二定律可得径向运动的微分方 程式为：（5-63） 其中为薄圆片的密度，ur为环的径向位 移。 将（5-61）式中第一式代入（5-63）式 ，并注意到Sr=ur/r，即得，(5-64)若外加电场为E3=E0ejt，在此电场作用下 ，薄圆环产生受迫振动，这时（5-64）式 的解为：（5-65）其中: 将（5-65）式代入（5-61）式得电位移为：（5-66）其中:自由介电常数与夹持住介电常数之间的 关系为：通过电极面的电流为：因为电压V=E3lt，
10、故得薄圆环压电振子的导 纳为: （5-67）当G=时，薄圆环产生谐振，谐振频率fr为 ； （5-68）或当G=0时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率 为: （5-69）或由此得到机电耦合系数k31与fr、fa的关 系为:（5-70）薄球壳的球径向振动薄球壳的极化方向与径向平行，球壳内外 表面为电极面，球壳厚度为lt，平均半径 为r，并有r lt，选球的径向为3方向， 、的增加方向为1、2方向，其边界条件为 : E1=E2=0,E30； T3= T4= T5= T6=0，T10, T20。图 5-10 薄球壳的径向振动选（T、E）为独立变量，即得薄球壳的 径向振动的压电方程组为:（5-71）对于压电
11、陶瓷的弹性性质和压电性质在 与极化垂直的面上是各向异性的，故有 T1=T2、sE11=sE22、d31=d32。令代入到（5-71）式即得: （5-72）球壳中的情况与圆环相似，Sc与径向位移 ur之间的关系为：波动方程式为:（5-73）若外加电场为E3=E0ejt，在此电场作用 下，上式的解为：（5-74） 其中:（5-75）球壳的导纳为: （5-76）其中平面机电耦合系数 kp为当G=和G=0时可得,谐振频率：反谐振频率为：由此得到平面机电耦合系数为：薄片的厚度伸缩振动薄片的极化方向与厚度方向平行，片面为 电极面，片的长度为l、宽度为lw、厚度为 lt，并有llt，lwlt。因为只考虑沿厚度 方向传播的平面波，频率很高，故可以认 为片的侧面被刚性夹住，即可认为:S1=S
