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1、其它振动模式 薄圆片压电振子的径向伸缩振动; 其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄 球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动振动模式材料参数等效电路器件设计阻抗、导纳薄圆片压电振子的径向振动对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数 s11=s22的压电晶体,例如钛酸钡、铌酸 锂等晶体,可用它的z切割薄圆片的径 向振动。 用柱坐标(O-rz),圆片面与z轴垂直 。因为是薄圆片,所以可以近似认为垂 直于圆片面方向的应力Tz=0。薄圆片压电振子的压电方程组因为薄圆片只有径向伸缩形变,所以沿r 方向和方向的Tr0,T0,而切应力 Tr=Trz=Tz=0。因为电极面就在圆片面上 ,所以只有沿z方向的电场强度分量
2、Ez0 ,而沿r和方向的电场强度分量Er=E=0 。 又因电极面是等位面,故有(Ez/r)=0 。选E、T为自变量,并注意到弹性柔顺常 数s11=s22以及压电常数d31=d32,于是薄圆 片压电振子的压电方程组为:(5-37)第二类压电方程组若以(S、E)为自变量,有(5-37)式可得实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性 柔顺常数sE11、sE12,将Y=1/sE11,=- sE12/sE11关系代入上式得:(5-38)式就是以(S、E)为自变量,用 柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其中沿 r方向的伸缩应变Sr=(ur/r),沿方 向的伸缩应变S=ur/r+(u/)/r。因为 薄圆片的径向伸缩
3、振动具有圆对称性,所 以(u/)=0。在此情况下,沿方向的 伸缩应变简化为S=ur/r。薄圆片压电振子的振动方程若圆片密度为,则小的质量为(见图5 -7);若为小块bcde沿径向的位移 rddr,则小块沿径向加速度为 2ur/t2。小块的运动方程为:图5-7 薄圆片压电振子的质量元由于dr和d都很小,故有忽略T与T的差别(即认为T=T)。 将这些结果代入到上式后,即得小块的运 动微分方程式为,即:(5-39 ) 将压电方程组(5-38)式代入上式,并 注意到(Ez/r)=0,即得利用关系代入薄圆片压电振子的波动方程 。(5-40)其中波速:波动方程式的解薄圆片压电振子的波动方程式的解为(5-4
4、1)其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的 边界为机械自由,则在边界上的应力Tr等 于零。即由(5-38)式的第一式若电场强度分量为: 并注意到代入到上式得: (5-42) 利用边界条件r=a时,Tr|a=0,即可确定 任意常数A,由即得(5-43)将(5-43)式代入到(5-41)式即得满足 自由边界条件的解为(5-44)由(5-44)式代表的波形,如图5-8所示。 图 5-8 自由圆片的径向伸缩振动(a)自 由圆片中的波形(b)自由圆片的伸缩情况r-a0at= 0ur( r,0 )0t= / rur( r, /r)将(5-43)式代入到(5-42
5、)式即得沿 r方向的伸缩应力为(5-45)沿方向的伸缩应力为:(5-46)沿r方向和方向的伸缩应变及电位移为: (5-47) 薄圆片压电振子的等效电阻 通过压电振子电极面的电流I为而电极面上的电荷Q为积分时注意到:即得于是得到电流为(5-48)薄圆片压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗Z为将(5-48)式代入上式的因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为以及 将这些关系代入上式得(5-49)薄圆片压电振子的等效阻抗k=/谐振频率和机电耦合系数谐振时压电振子的等效阻抗Z=0,即 G=1/Z=,这就要求即:或:(5-50)其中:r=2fr,fr=谐振频率。钛酸钡的泊松比约为=0.30,代入上式:查贝
6、塞尔函数的数值表,可得上式最小 的根为:(5-51)由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为(5-52) 同理可得:反谐振时,压电振子的等效阻抗Z=,即 G=1/Z=0,这就要求,(5-53)因为反谐振频率fa稍大于谐振频率fr,故 可假设将J0和J1在谐振频率处用泰勒级数展开得(5-54) 将(5-54)式代入(5-53)式后,(5-53 )式分子为:(5-55 )(5-53)式分母为由(5-50)式知或者将这些关系代入到(5-55)式得最后得到即:(5-56)由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合 系数kp为或者(5-57)(5-58) 谐振频率关系式(5-52)式以及机电耦合系 数关系式(5-5
7、7)式对压电陶瓷也成立。实 验上常用(5-52)式确定材料的杨氏模量Y ,(5-57)式确定材料的机电耦合系数kp, 通过低频电容Clow的测量,确定介电常数:以及压电常数:至于泊松比,则可通过下式确定:(5-59) 其中:fr0=薄圆片压电振子的基频,fr1=薄 圆片压电振子的一次谐波频率。(确切的 说法是fr0为薄圆片的基音频率,fr1为薄圆 片的一次泛音频率,对于压电陶瓷 fr02.61 fr1左右)。(5-59)式的适用范 围是:(5-60)薄圆片压电振子的径向伸缩 振动(小结)介电常数半径a;厚度lt;低频电容Clowfr0:薄圆片压电振子的基频,fr1:薄圆 片压电振子的一次谐波频
8、率。杨氏模量压电常数平面机电 耦合系数其它压电振子 薄圆环压电振子的径向振动 薄球壳的球径向振动 薄片的厚度伸缩振动 薄圆环压电振子的径向振动 如图5-9所示,薄圆环的极化方向与z轴平行(即 轴向极化),平均半径为r ,厚度为lt,宽度为 lw,并有rlt以及rlw.设圆环的方向为2方向, 极化方向为3方向,增加的方向为1方向。因为圆 环的半径远大于圆环的宽度和厚度,所以圆环在外 加电场的作用下,可以认为只产生轴对称的径向 振动.除了沿圆周(即切向)的应力T1(即T)外 ,其余的应力、切应力皆等于零。 图 5-9 薄圆环的径向振动又与3方向垂直的电极面是等位面,所以 可以认为E1=E2=0。选
9、(T、E)为独立变 量,即得薄圆环的压电方程组为,(5-61)考虑薄圆环上的一小块(如图5-9所示 ),作用在小块上的径向力分量为:(5-62)由牛顿第二定律可得径向运动的微分方 程式为:(5-63) 其中为薄圆片的密度,ur为环的径向位 移。 将(5-61)式中第一式代入(5-63)式 ,并注意到Sr=ur/r,即得,(5-64)若外加电场为E3=E0ejt,在此电场作用下 ,薄圆环产生受迫振动,这时(5-64)式 的解为:(5-65)其中: 将(5-65)式代入(5-61)式得电位移为:(5-66)其中:自由介电常数与夹持住介电常数之间的 关系为:通过电极面的电流为:因为电压V=E3lt,
10、故得薄圆环压电振子的导 纳为: (5-67)当G=时,薄圆环产生谐振,谐振频率fr为 ; (5-68)或当G=0时,薄圆环产生反谐振,反谐振频率 为: (5-69)或由此得到机电耦合系数k31与fr、fa的关 系为:(5-70)薄球壳的球径向振动薄球壳的极化方向与径向平行,球壳内外 表面为电极面,球壳厚度为lt,平均半径 为r,并有r lt,选球的径向为3方向, 、的增加方向为1、2方向,其边界条件为 : E1=E2=0,E30; T3= T4= T5= T6=0,T10, T20。图 5-10 薄球壳的径向振动选(T、E)为独立变量,即得薄球壳的 径向振动的压电方程组为:(5-71)对于压电
11、陶瓷的弹性性质和压电性质在 与极化垂直的面上是各向异性的,故有 T1=T2、sE11=sE22、d31=d32。令代入到(5-71)式即得: (5-72)球壳中的情况与圆环相似,Sc与径向位移 ur之间的关系为:波动方程式为:(5-73)若外加电场为E3=E0ejt,在此电场作用 下,上式的解为:(5-74) 其中:(5-75)球壳的导纳为: (5-76)其中平面机电耦合系数 kp为当G=和G=0时可得,谐振频率:反谐振频率为:由此得到平面机电耦合系数为:薄片的厚度伸缩振动薄片的极化方向与厚度方向平行,片面为 电极面,片的长度为l、宽度为lw、厚度为 lt,并有llt,lwlt。因为只考虑沿厚度 方向传播的平面波,频率很高,故可以认 为片的侧面被刚性夹住,即可认为:S1=S