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1、解题与解题教学 数学教师的基本功泰州市教育局教研室 石志群一、背景波利亚：学习数学就是学习解题“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”单壿教授：解题是一门实践性的学问：“学骑自行车”波利亚：“学游泳”教师是否有解题的习惯？讲题前是否有研究题目的习惯？教师自己的解题能力如何？选择例题、习题、作业（即选题）的能力如何？如何进行恰当的解题教学？二、选题与构题好题（适合于教学）的标准波利亚：如果他把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错失良机。相反地，如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，
2、那么就能培养学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法。单壿：做高质量的数学题两种题：常规题与非常规题常规题：是基础非常规题：提高能力，发展智力1.层次性一是循序渐进，不要追求一次到位；二是逐步过渡，符合学生认知能力要有足够的基础训练题，如“对数的运算性质”：足够多的、直接运用运算性质的问题，让学生熟悉、记忆相关公式，不要一下子就进行综合运用。基础训练宜先进行正面强化，不用负面强化：首因效应。一些错误可以出现之后的反思中纠正。如复合函数的认识：例1.已知f(x)=2x+3，分别求：(1) f(0),f(1),f(-1);(2) f(a),f(a+1);(3) f(x),f(x+1).再变换函数，
3、解决上述问题例2。已知f(x)=2x+3,若g(x)=f(x+1),求g(1),g(0),g(-1)的值。在后继课研究由复合函数求原函数的问题：例1.已知f(x)=2x+3,求f(x2);例2.若f(x2 )=x2 +1，求f(x);例3. 若f(x+1)=x+5,求f(x);例4.若f(1-x/1+x)=x，求f(x)2.典范性即一是具有基础性，从而具有示范性、可以由一题及一类，反映本质；二是可以由一题得一法或多法（建模）（波利亚怎样解题中的解题表中在“拟订方案”部分中：你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可用的定理吗？观察未
4、知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？如果你不能解所提到的题目，先尝试去解某道有关的题目。你是否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？08高考第19（3）三是具有思维策略和思想方法意义即使是最简单的题，其思维过程都应该充分暴露，并且在对思维过程的反思中生成相应的思维策略与思想方法。如前述复合函数问题：两种类型问题之间的互逆关系开启思维的大门。例（2007年江苏第10题）在平面直角坐标第
5、xOy中，已知平面区域A(x,y)|x+y1,且x0,y0，则平面区域B(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为A. 2 B. 1 C. 1/2 D. 1/4作为复习二元一次不等式表示的平面区域的例题，就是一个好的例子（当然，前面还应该有更基础的例子帮助学生掌握如何表示二元一次不等式所示的平面区域）。这是一道知识与能力有机结合的好题：将集B转化为集A，方法是整体代换（基于学生对问题的本质的理解）例（2008年江苏第9题）如图，在平面直角坐标第xOy中，设ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0);点P(0,p)为线段AO上一点（异于端点），这里a,b,c,p为常数。设直线BP、
6、CP分别与边AC、AB交于点E、F。某同学已正确求得直线OE的方程：(1/b-1/c)x+(1/p-1/a)y=0。请你完成直线OF的方程：（ )x+(1/p-1/a)y=0.这是合情推理的好材料：既是合理的：确实在解题过程中经常会遇到这种“同理可得”的情况，这种可得的结果如果并不需要再求一次，其“同理”才有实际价值。从这个方面说，这样的考题实际上也是在教思维，是值得的我们平时选题时充分借鉴的。又是可行的：对不同思维层次的学生都有方法可做：按常规方法求与按结构对称性推都能做到，但思维的深度与高度大有区别。3.可变性即题目具有多向变化的可能性一是题目本身可以由简单变复杂，由单一变复合；二是思考的
7、方向具有多向性，便于发散思维08高考第19题与教材22中习题教材2-2P84习题2。2第6题：证明：1， ，3不可能是同一个等差 数列中的三项。2007年福建省第21题：等差数列an 的前n项和为Sn ,a1 =1+ ,S3 =9+3 .(1)求数列an 的通项an 及前n项的和Sn ;(2)设bn =Sn /n (nN* )，求证：数列bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列。第（2）题由p,q,r项成等比数列得(q2 pr)+(2q-p-r) =0得到：q2 pr=0且2q-p-r0.通过比较可以看出：08江苏19题与上题的思维方法完全类同：标准答案中的基本事实可由最后的方程组说明，而通
8、过无理性构造的根源也在本题的题干中。本例同时说明：教师对题目的研究深度是决定学生的能力高度的基础。又如：等差数列中，首项大于0,公差小于0,求其前n项和的最大值问题。一是解法的多样性：二次函数配方法、图像法；转化为项的符号二是变化：不是等差数列，其前n项和的最值：an +an+1 =pn+q，其前n项和的最值？正项等比数列的前n项之积的最值；和式处理策略（07年福建22题）已知函数f(x)=ex kx,xR(3)设函数F(x)=f(x)+f(-x)。求证：F(1)F(2)F(n)(en+1 +2)n/2 (nN* ).仿照倒序相加思想，首尾对应相乘思维反思：怎么想到倒排相乘的？能从题结构获得启
9、示吗？4.全面性逐步完美知识、技能，思想如等差数列的通项公式：一是知识：公式的应用二是技能：a1 ,d，n，an 中知三求 一;推导方法（差分法）三是思想：基本量思想：等差数列由知道首项与公差确定。函数思想：项（函数值）与序号（自变量）之间为一次函数的关系。这种结构特征的重要性，如等差数列前n项和的特征、等比数列前n项和的特征的功能等。（两等差数列前n项和的比与项的比的问题、等比数列的条件的问题等）又如“函数的零点”1.判定的条件；2.反例；3.引申。四是形成知识组块记忆的规律优、差生的区别：知识组块的数量、质量及调节策略的应用。要科学地建立知识组块，不能将知识无序地装在大脑中，而应通过分类、
10、比较、联系等途径，使零散知识压缩成更密集的组块。组块的作用：简缩思维形式加速思维进程降低思维能耗具有知识与思维的双重性解题知识组块积累的越多，质量越高 ，解题能力就越强 如：对根号下平方和的表达式，有时 需要联系勾股定理，有时想到两点间 的距离公式，有时则用到同角三角函 数之间的关系的公式 围绕此式，可以建立起相应的组块， 并建立与构造法、三角代换法等方法 的联系选题、编题1.重视教材例题、练习的选用平均变化率教材所配例题、练习 的意图及教学处理2.新授课根据实际要求适当补充 一些例题、练习（如函数的单调 性）3.复习课、习题课选择一些要求 适当、具有深化基础知识，训练 基本技能，与其他内容适
11、当综合 ，并能够以展学生能力的题，如 “基本不等式”习题课就可选些 类似于08江苏第11题的问题。以教会学生掌握如何创造条件利 用基本不等式； 数学解题的一般性的思维策略与 原则。4.例、习题的适当重复有利于学 生牢靠掌握相关知识和方法；变 式训练题有利于学生从本质上理 解学习的知识，灵活运用学习的 方法。 滾动式练习可以对重点、难点内 容进行强化训练。 自主编制练习、试卷可以提高针 对性； 分层要求地设计作业可以实现个 性化学习，有效提高效率。5.要重视对成题的改编根据需要对题目进行改编是教师 的一项基本功： 如对2006年高考最后一题：将三 项和改为二项和，将隔项差改为 相邻两项差。 也可
12、以部分地改2007年江苏最后一题是一道考查 运用集合的思想和观点解决问题 的题目，但函数较为复杂且参数 较多，同样可以达到这样的目标 ，可以将函数简化，参数减少， 即使在高一也可以进行6.改编也可以通过成题的变化实现08江苏第19题与教材题、07福建题关系说明，高三选题和变题的必要性，高三教研的一个重要方面可能应该包括这一点。题讲得多，学生从这些孤立的题中能得到什么？-少而精，而透镇江08年二模卷中一题就是由四川省07年年一道选择题改编的。作为高三数学教师应该有这样的意识与能力。三、讲题1.教会学生审题审题的方法：题意，明确已知和目标；题意的多角度理解。例：若不等式x2 + ax +10对一切
13、x(0,1/2成立，求a的最小值。理解1：即不等式的解集包含集合（0，1/2,从而分析函数f(x)= x2 + ax +1的图像与x轴交点位置得解法；理解2：即函数f(x)= x2 + ax +1的在区间 （0,1/2上的最小值都不小于0,再用图像 探索这个最小值；理解3：将不等式等价变换为x2 +1 -ax, 从而作出函数y1 = x2 +1 与y2 =-ax在区间 （0,1/2上的图像（定曲线，动直线）；理解4：将不等式等价变换为ax+1/x (0x1/2)说明:有时关键就在“理解”：2007年江苏第21题2007年第21题已知a,b,c,d是不为0的实数，函数 f(x)=bx2+cx+d
14、，g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数 根都是g(f(x)=0的根；反之， g(f(x)=0的实数根都是f(x)=0的根。（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f(1)=0，求c的取值范围 。（1）略（2）由（1）知f(x)=bx2+cx，g(x)=ax3+bx2+cx。由a=0得：f(x)=0即x(bx+c)=0，g(x)=0即x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0波利亚的“解题表”理解题目（第一，你必须理解题目）：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或
15、有多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号。将条件的不同部分分开有时数据较多，有关的量较多时，可以用表表示数据，引进字母表示这些变量。对一些新定义的概念、运算等问题，更需要通过适当方式加以理解：如2006年北京理：在数列an中，若a1,a2是正整数，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,则称an为“绝对差数列”范例：1995年高考应用题范例：08江苏第20题2.有效引导学生思考首先要给学生足够的理解题意、探索分析的时间（一听就懂，一看就分，一做就错）解题的要意不在答案本身，而在思维过程，学生必须经历这一过程。直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处
16、理、演绎证明等一系列思维过程都需要学生通过自己的独立的活动来亲身经历。越俎代庖的结果必然是学生思维独立性的丧失。其次，教师应在恰当的时间，以恰当 的方式对学生的思维进行归类，明确 学生已经达到解题的哪个层次，并通 过互动加以必要的引导。 波利亚：学生应该获得尽可能多的独 立工作的经验，教师应当帮助学生 ，但不能太多，也不能太少如果学 生没有能力做很多，那么老师应当给 他一些独立工作感觉。单壿：现成的答案不一定是最好的答案，“应该自己睁开眼睛看，切莫被人牵着鼻子走”学生要这样，教师更要这样。范例：中学数学教学参考2008第6期 P21（对一道题的“正难则反”思维定势成 因的研究）已知三个方程:x2-mx+4=0,x2-(m-1)x+16=0,x2+2mx+3m+10=0 中至少有一个方程有实根,求实数m的取值 范围.补集的实质?其次,对学生的思路要理清、明晰：从概略性解决开始的有层次的解题习
