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1、概率统计下页结束返回第八章 假设检验假设检验: 是一类重要的统计推断问题，它根据样本所提供的 信息，检验关于总体的某个假设是否正确，从而作出拒绝或接收 原假设的决定它分为两类： 参数的假设检验：对总体中某个数字特征或分布中的参数提出 假设检验 非参数的假设检验：对总体分布提出假设检验本章将介绍假设检验的基本概念、思想方法, 并讨论常用的有 关正态总体参数的检验等内容下页概率统计下页结束返回例1.设某厂生产一种灯管，其寿命服从正态分布 (,40000)， 原来灯管的平均寿命为 1500小时现在采用新工艺后，在所 生产的灯管中抽取25只，测得平均寿命为1675小时问采用新工 艺后，灯管寿命是否有显
2、著提高? 问题： 判断 1500 ？例2.某种农作物的农药残留量是否服从正态分布. 问题：农药残留量服从正态分布？一、假设检验的基本思想这些例子共同点是，根据样本值去判断一个“看法”是否成立.例 1500 ； 例2 残留量服从正态分布. “看法”即对总体分布状态的一种陈述，称为统计假设.1假设检验的基本思想和概念下页概率统计下页结束返回（一）如何提出原假设设为未知参数，0已知.问题 原假设 备择假设 名称 - 1）与0有显著差异（变化）？H0： =0H1： 0双侧检验2）比0有无显著提高（增大）？H0： =0(0)H1： 0右单侧检验3）比0有无显著降低（减少）？H0： =0(0)H1： 0左
3、单侧检验要点：含等号“=”的作为原假设(这样做就是为了数学处理的方便).下页概率统计下页结束返回例3. 设某次考试成绩XN( , 202） ，从中任抽36人的成绩，算得平均 分为75，问在显著性水平=0.05下，是否可以认为全体考生的平均成绩 为70分？问题：某次考试(所有)成绩是总体，任意抽取的36人的成绩为样本. 通过样本的有关信息能否推断出总体分布中的为70分？分析逻辑： 1)假设总体分布中的是70，即总体XN(70 , 202）； 2)推导出样本均值所服从的分布； 3)确定样本均值的以为中心点的大概率(或小概率)事件取值范围；（注意：样本均值为的无偏估计） 4)计算由样本确定的样本均值
4、； 5)检验样本均值所取得的值是否合理(“小概率事件在一次试验中一般 不发生”)；并以此来决定是接受或拒绝对总体的假设.（二）检验的逻辑过程下页概率统计下页结束返回例3. 设某次考试成绩XN( , 202） ，从中任抽36人的成绩，算得平均 分为75，问在显著性水平=0.05下，是否可以认为全体考生的平均成绩 为70分？解：设原假设H0 为真意味着什么？意味着总体XN(0 , 202） ，即XN(70 , 202）.从而可知，下页概率统计下页结束返回例3. 设某次考试成绩XN( , 202） ，从中任抽36人的成绩，算得平均 分为75，问在显著性水平=0.05下，是否可以认为全体考生的平均成绩
5、 为70分？解：即，的大概率事件的取值范围如何确定？拒绝还是接受H0？接受！因为抽样得到的样本均值为75，在(63.47,76.53)内，属大概率事件.下页概率统计下页结束返回在本例中当H0 为真时，选统计量（三）检验过程的标准化查表得U的接受域为|U|1.96计算样本值为，显然，样本值U在接受域内，接受H0。可认为总平均为70分.对于给定的=0.05 ，在实际问题中，为了便于查表计算，一般不直接讨论样本均值的分布规律，而是将其转化已知的某些常见分布来处理. 注意：下页概率统计下页结束返回二、假设检验的基本方法（1）根据问题的要求提出原假设 H0和备择H1；( 以例3为例进行分析总结)(1)提
6、出假设 H0：u0=70；(2) 在为真的情况下构造 统计量（2）根据 H0选取检验统计量 U并 确定其分布;(3)对于给定的显著水平 0.05, 确定拒绝域P(|U|u0.05/2)0.05,得u0.05/2=1.96（3）对给定(或选定)的显著性水平 ，确定拒绝域和接收域(4)计算统计量的值（4）计算统计量的值U；（5）推断：当U落入拒绝域，就 拒绝H0；否则就接受H0.(5)做出推断由于|U|=1.51.96.所以接受H0.下页概率统计下页结束返回三、两类错误 第I类错误： “弃真” ， H0为真时，H0被拒绝了.即第II类错误：“纳伪” ， H0不真时，H0被接受了，即P H0被拒绝
7、/ H0为 真=，称为显著性水平.P H0被接受 / H0不真 =根据假设H0选取不含未知参数的统计量，由统计量服从的分布命 名为 U 检验，t 检验， F 检验， 检验（转下页）.在样本容量 n 确定后，和是不可能同时减小. 除非增大样本 容量 n. 但 n无限增大是不可能的，奈曼与皮尔逊(Neyman-pearson)提出在控制犯第一类错误的概率 的条件下，尽量使犯第二类错 误的概率小，基于这一原则寻求最优检验，也很难实现.于是 只好再降低要求，实际中通常只控制犯第一类错误的概率.下页概率统计下页结束返回F 检验 用 F分布一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为U 检验 用正态分布t
8、 检验 用 t 分布检验用分布结束四、检验名称概率统计下页结束返回1. 统计量2. 分位点若 X N（，2）， X1，X2，Xn为样本，则下页概率统计下页结束返回设为未知参数，0已知.问题 原假设 备择假设 名称 - 1）与0有显著差异（变化）？H0： =0H1： 0双侧检验2）比0有无显著提高（增大）？H0： =0(0)H1： 0右单侧检验3）比0有无显著降低（减少）？H0： =0(0)H1： 0左单侧检验要点：含等号“=”的作为原假设(这样做就是为了数学处理的方便).下页3. 如何提出原假设概率统计下页结束返回F 检验 用 F分布一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为U 检验 用正态
9、分布t 检验 用 t 分布检验用分布4. 检验名称下页概率统计下页结束返回假设检验分5个步骤：第一步，提出原假设；5. 假设检验的步骤下页第二步，选择统计量；第三步，确定接受域和拒绝域；第四步，计算统计量的值；第五步，作出统计推断.含等号的作为 原假设选择含被检验 参数的统计量依检验类型查 相应的分位点由样本观察值计 算统计量的值统计量的值在接受域 内,则接受H0 ；在拒 绝域内,则拒绝H0概率统计下页结束返回8.2 正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的假设检验设 X N( , 2 )， X1，X2，Xn； 0为已知数.H0 ： = 0 , H1 ： 0 （双侧）H0 ： = 0 （ 0
10、）, H1 ： 0 （右单侧）H0 ： = 0 （ 0 ），H1 ： 0 （左单侧）1、2 已知，即2 =02时，选统计量U 检验下页概率统计下页结束返回2 、 2未知时(t 检验)选统计量例1.设某次考试成绩XN( , 2） ，从中任抽36人的成绩，算得平均分 为66.5，标准差为15，问在显著性水平0.05下，是否可以认为全体考生 的平均成绩为70分？由题意 = 66.5，s =15，n = 36解: 假设 H0：=0=70,选择统计量 查t分布表得，显然统计量的值t = -1.4在接受域内，所以接受H0，即可以认为全体考生平均分为70分.,即拒绝域为| t |2.0301由样本算得统计量
11、的值为下页=0=70概率统计下页结束返回例2. 一种元件，要求使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随 机抽取25件，测得其使用寿命的平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准 差100小时的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合 格.解:假设 H0 ：= 1000 ， H1 ： ， U u ， U- uP| U | = ；设总体XN (1, 12)，YN (2, 22)，又设两总体相互独立，假设（）双侧检验 H0:1=2， H1：12 （）右边单侧检验 H0:1=2， H1：12 （）左边单侧检验 H0:1=2， H1：121 、12 ， 22已知时(U 检验)当H
12、0成立时,选统计量PUu=；PU- u由样本观察值计算出统计量 U 的值，当相应的时拒绝H0，认为1与2有显著差异.给定，查满足下面条件的相应 的 或 u下页概率统计下页结束返回2、 ， 均未知，但 = 时（t 检验）当H0成立时,选统计量由样本计算出 t 值且对应于 查得临界值：; t(n1+n22）当 |t | ; t t(n1+n22）; t ，所以拒绝H0 ，已知苗高服从正态分布，判断两种试验方案对平均苗高有无显著差异（=0.01）?查表得即认为两种试验方案对苗高有显著影响.下页概率统计下页结束返回例4. 为考察温度对针织品断裂强度的影响今在700C和800C分别 作8次和6次试验，测
13、得各自的断裂强度X和Y的观测值，计算得由题设 n1=8，n2=6 ， 由于 |t| ，所以拒绝H0 ，假设X和Y均服从正态分布且方差相等，试问700C和800C对断裂强 度有无显著差异（=0. 1）?查表得即在显著水平0.10下认为700C和800C的断裂强度有显著差异.解: H0：1=2 ， H1：12，选统计量 (哪个?)下页概率统计下页结束返回3、大样本情形总体均值检验（U 检验）设总体X分布未知，但具有期望E(X)=，方差D(X)=2， (X1, X2,， Xn)为总体X的一个样本，欲检验H0: =0 H1:0 （0为已知参数.）根据总体方差2是否已知，分两种情形：（1） 2 02（已知）时，选择统计量（2） 2未知时，选择统计量若假设H0成立，由中心极限定理知（近似地）只要样本容量n50, 就可以使用U检验.下页概率统计下页结束返回例5.某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在2.64， 改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为2.62，标 准差s=0.06,问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响(=0.01)?解：由于
