两点之间线段最短

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1、 初三一班 原静雯 前言o 阅读完两点之间线段最短那篇文章， 相信大家对于两点之间线段最短这个简单的 公理有了更加深入地了解，应用上，也找到 了些方法与思路了吧。又经过了近一年的学 习，回过头我们再看两点之间线段最短这个 公理，看看我们能不能再发现它的精华。o 这是上学期的一道周测题目，不知大家 还有没有印象。 探究问题一o如图，在边长为 8cm的正方形ABCD 中，M为DC上的一 点，且DM=2，N是 AC上的一动点， 求DN+MN的最小值 。解答o 首先，我想先说一说我拿到这道题 时的一些想法和思路。观察已知条件， 要求的是DN+MN的最小值，观察图形，这 两条线段在同一边，这就很别扭，显

2、得 无从下手，于是我便想到了线段等量的 转化，由于正方形是轴对称图形，对角 线又是它的对称轴，因此，我连接NB， 利用全等，把DN转移到BN。于是，便变 为了求NB+NM的最小值。解答o 如图，NB与NM，显然 是折线，不难想到，只有 运动N点，使得B.M.N三点 共线时，NB+NM的值最小 ，而这一块的思考，我们 就利用了两点之间线段最 短的公理。确定了N点的 位置，下面就是简单的求 解了。解题过程o解：连接 NB、BMo四边形ABCD为正方形o1=2、AB=AD=DC=8cm=BC , DCB=90o在BAN与DAN中oAB=ADo1=2oAN=ANoABNAND(SAS)oBN=DNo即

3、求DN+MN的最小值，则为求NB+NM的 最小值解题过程o由两点之间线段最短得o连接BM时与AC的交点为最小值o设交于EoDM=2cmoMC=6cmo根据勾股定理oBC2+CM2=BM2oBM=10cmo即DN+MN的最小值为10cm。总结o 理解了上一题，我们看看这道题，这道 题就是上一题简单的变形。它与上一题极为相 似，有了上一题的铺垫这道题现在让你做就非 常简单了。探究问题二o如图，在等腰直角 三角形ABC中， AB=AC=8，A=90 ，M为AC上的一点, 且AM=2，N是BC上的 一动点，求AN+MN的 最小值。思路o 观察图形，它恰好是上一图形的一半，考 虑到要应用对称性，转移线段

4、，从而利用两点 之间线段最短这个公理，我们需要翻转三角形 ABC，使得构成一个正方形，从而利用上一题 的思路解题。 解题过程o解：以BC 为轴翻转ABC到 DBCo连接 ND，MD交BC于EoAC=DC=8，ABC=DCBo在ACN与DCN中oAC=DCoABC=DCB oCN=CNoACNDCN(SAS)oAN=DNo即求AN+NM的最小值则为求 MN+ND的最小值解题过程o根据两点之间线段最短o当N在E点时 ,MN+ND的值最小oABC为等腰三角形 ，AM=2oABC=BCD=45 MC=6oMCD=90o根据勾股定律oMC2+DC2=MD2oMD=10o即AN+MN的最小值为 10。探究

5、问题三o 在边长为6的菱 形ABCD中， DAB=60，E为 AB的中点，F是AC 上一动点，求 EF+BF的最小值。解答o 这也是我们周测的一道题目，大家 还有印象吗？它与探究问题一大致一样 ，只是换作了菱形的情景，依旧是利用 对称性转移线段，再利用两点之间线段 最短的公理。解题过程略探究问题四o 同探究问题一、探 究问题二一样，我把探 究问题三变形，大家再 看看。o 如图，在边长为2 的等边三角形ABC中，M 为AB的中点, N是BC上 的一动点，求AN+MN的 最小值。解题过程o解：以BC为轴翻转ABC到DBC，o 连接MD、ND作DEAB交AB的延长线于E。o AB=BD=2 1=2=

6、60o 在ABM与DBM中o AB=DBo 1=2o BM=BMo ABMDBM(SAS)o AM=DMo 即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD的最 小值o 根据两点之间线段最短o 当M为ND与BC交点F时，MN+MD的最小值。解题过程o1=2=60oABD=120oEBD=60oDEAEoAED=90oBDE=30oBE= BD=1oED= N为AB的中点oBN=1oEN=2o根据勾股定理oNE2+ED2=ND2oND= AM+MN的最小值 为回顾与总结o 通过以上的探究和思考，我们发现，两点之间 线段最短这个公理，已不只停留在一个简单的公理 上，它已成为求两个线段和最短或几条线段和最

7、短 的一种手段和技巧.o 通过探究，我们发现，这一类问题解题的大概 步骤是一样的，唯一不同在于它们赋予的图形不同 ，也就是已知条件不同。它可以以正方形、菱形为 依托，也可以以等腰三角形和等边三角形为依托。 但我发现它的本质是不变的，也就是万变不离其中 ，因此，我们只需以不变应万变。下面是我总结的 这一类问题的基本思路和步骤。步骤思路o （1）利用对称，转移其中一条线段。（若不 是对角线为对称轴的图形，通过翻折，补形） 移o （2）利用两点之间线段最短这个公理，寻找 两线段和最短时动点所在的位置。找o （3）利用已知条件求线段的值求。求解 前的过渡的写法很重要，举个例子（例：AM=DM 即要求A

8、M+MN的最小值则为求 MN+MD的最小值 根据两点之间线段最短 当M为ND与BC交点F时 ，MN+MD的最小值）大概内容如此即可。o （4）最后下结论。（例：AM+MN的最小值为 ）题目o 说了这么多，大家对这方面的知识也有所了解了吧 ，那么，让我们一同看看这道中考题，看看能不能轻松 的解决。o 题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3 ），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。o（1）求此抛物线的解析式。o（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析 式。o（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某 点（设为点E）在到达抛物线的对称轴上某点（

9、设为点F ），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E 、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。解答（第一问）o解答：首先，依题目条 件，大致画出图来 ，如图。题目说抛 物线y=ax2+bx+c与y 轴交于点A（0，3） ，与x轴分别交于B （1，0）、C（5，0 ）两点。也就是点A ，B，C均满足函数 解析式。解答（第一问）o解：依题意得方程组 ：o c=3o a+b+c=0o 25a+5b+c=0o解得： a=0.6o b=-3.6o c=3解答（第二问)o解答：（2）由题目得：D 为线段OA的一个三等 分点，观察图形，满 足这个条件的点有两 个，因此有两种情况 ，所以，我们采用分

10、类讨论。解答（第二问)o解：分类讨论：o 当点D的坐标为（0，1）时，o 设此函数解析式为y=kx+1o 则有5k+1=0o k=-0.2o 此函数解析式为y=-0.2x+1o 当点D的坐标为（0，2）时o 设此函数解析式为y=kx+2o 则有5k+2=0o k=-0.4o 此函数解析式为y=-0.4x+2解答（第二问)o综上所述：当点D的坐标为 （0，1）时，函数 解析式为y=-0.2x+1 。当点D的坐标为 （0，2）时，函数 解析式为y=-0.4x+2 。解答（第三问)o解答：（3）题目说M是OA的中点，则，我们可以求 出M的坐标，为（0，1.5）。题目说到达抛 物线的对称轴上某点，我们

11、应先找到它的对 称轴，这并不难，它应该是经过点（3，0） 垂直于x轴的直线。我们要求的是一个最短 路径，在此，我介绍两种方法。解答（第三问)o方法一，题目说线段先到 达x轴上的某点，再到 达抛物线的对称轴上 某点，最后运动到点A ，这很像是将军饮水 问题，于是我便依照 类似与解决将军饮水 问题的方法，作点M关 于x轴的对称点M， M坐标为（0，-1.5 ）。解答（第三问)o 这样，就变成了 典型的将军饮水问题 。只需做点A关于抛物 线对称轴的对称点A ，A坐标为（6，3） ，连接MA，与x轴 相交的是点E，与抛物 线对称轴相交的是点F 。把相对应的线段还 原回去，就是红色的 部分。解答（第三问

12、)o 接下来，我们应 该求直线MA的函 数解析式，我们不妨 设直线MA的函数 解析式为y=kx-1.5o则有：6k-1.5=3o解得：k=0.75o则此函数解析式为 y=0.75x-1.5。解答（第三问)o 不难求出，它与x 轴的交点为（2，0） ，即E点坐标为（2，0 ），与抛物线对称轴 交点是（3，0.75）， 即F点坐标为（3， 0.75）。最后，连接A A，根据勾股定理， 求出MA的长为7.5 。即，最短路程长为 7.5。解答（第三问)o方法二：o 这种方法与方法一十分类 似，思路大体相同，只是其中 一个环节要注意，当连接AM 后，不要认为此时与x轴的 交点就为要求的点E，要求的 点E应该是它关于抛物线对称 轴的对称点。当然，这道题也 可以先做点A关于x轴的对称点 ，有兴趣大家可以试一试。