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1、 初三一班 原静雯 前言o 阅读完两点之间线段最短那篇文章, 相信大家对于两点之间线段最短这个简单的 公理有了更加深入地了解,应用上,也找到 了些方法与思路了吧。又经过了近一年的学 习,回过头我们再看两点之间线段最短这个 公理,看看我们能不能再发现它的精华。o 这是上学期的一道周测题目,不知大家 还有没有印象。 探究问题一o如图,在边长为 8cm的正方形ABCD 中,M为DC上的一 点,且DM=2,N是 AC上的一动点, 求DN+MN的最小值 。解答o 首先,我想先说一说我拿到这道题 时的一些想法和思路。观察已知条件, 要求的是DN+MN的最小值,观察图形,这 两条线段在同一边,这就很别扭,显
2、得 无从下手,于是我便想到了线段等量的 转化,由于正方形是轴对称图形,对角 线又是它的对称轴,因此,我连接NB, 利用全等,把DN转移到BN。于是,便变 为了求NB+NM的最小值。解答o 如图,NB与NM,显然 是折线,不难想到,只有 运动N点,使得B.M.N三点 共线时,NB+NM的值最小 ,而这一块的思考,我们 就利用了两点之间线段最 短的公理。确定了N点的 位置,下面就是简单的求 解了。解题过程o解:连接 NB、BMo四边形ABCD为正方形o1=2、AB=AD=DC=8cm=BC , DCB=90o在BAN与DAN中oAB=ADo1=2oAN=ANoABNAND(SAS)oBN=DNo即
3、求DN+MN的最小值,则为求NB+NM的 最小值解题过程o由两点之间线段最短得o连接BM时与AC的交点为最小值o设交于EoDM=2cmoMC=6cmo根据勾股定理oBC2+CM2=BM2oBM=10cmo即DN+MN的最小值为10cm。总结o 理解了上一题,我们看看这道题,这道 题就是上一题简单的变形。它与上一题极为相 似,有了上一题的铺垫这道题现在让你做就非 常简单了。探究问题二o如图,在等腰直角 三角形ABC中, AB=AC=8,A=90 ,M为AC上的一点, 且AM=2,N是BC上的 一动点,求AN+MN的 最小值。思路o 观察图形,它恰好是上一图形的一半,考 虑到要应用对称性,转移线段
4、,从而利用两点 之间线段最短这个公理,我们需要翻转三角形 ABC,使得构成一个正方形,从而利用上一题 的思路解题。 解题过程o解:以BC 为轴翻转ABC到 DBCo连接 ND,MD交BC于EoAC=DC=8,ABC=DCBo在ACN与DCN中oAC=DCoABC=DCB oCN=CNoACNDCN(SAS)oAN=DNo即求AN+NM的最小值则为求 MN+ND的最小值解题过程o根据两点之间线段最短o当N在E点时 ,MN+ND的值最小oABC为等腰三角形 ,AM=2oABC=BCD=45 MC=6oMCD=90o根据勾股定律oMC2+DC2=MD2oMD=10o即AN+MN的最小值为 10。探究
5、问题三o 在边长为6的菱 形ABCD中, DAB=60,E为 AB的中点,F是AC 上一动点,求 EF+BF的最小值。解答o 这也是我们周测的一道题目,大家 还有印象吗?它与探究问题一大致一样 ,只是换作了菱形的情景,依旧是利用 对称性转移线段,再利用两点之间线段 最短的公理。解题过程略探究问题四o 同探究问题一、探 究问题二一样,我把探 究问题三变形,大家再 看看。o 如图,在边长为2 的等边三角形ABC中,M 为AB的中点, N是BC上 的一动点,求AN+MN的 最小值。解题过程o解:以BC为轴翻转ABC到DBC,o 连接MD、ND作DEAB交AB的延长线于E。o AB=BD=2 1=2=
6、60o 在ABM与DBM中o AB=DBo 1=2o BM=BMo ABMDBM(SAS)o AM=DMo 即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD的最 小值o 根据两点之间线段最短o 当M为ND与BC交点F时,MN+MD的最小值。解题过程o1=2=60oABD=120oEBD=60oDEAEoAED=90oBDE=30oBE= BD=1oED= N为AB的中点oBN=1oEN=2o根据勾股定理oNE2+ED2=ND2oND= AM+MN的最小值 为回顾与总结o 通过以上的探究和思考,我们发现,两点之间 线段最短这个公理,已不只停留在一个简单的公理 上,它已成为求两个线段和最短或几条线段和最
7、短 的一种手段和技巧.o 通过探究,我们发现,这一类问题解题的大概 步骤是一样的,唯一不同在于它们赋予的图形不同 ,也就是已知条件不同。它可以以正方形、菱形为 依托,也可以以等腰三角形和等边三角形为依托。 但我发现它的本质是不变的,也就是万变不离其中 ,因此,我们只需以不变应万变。下面是我总结的 这一类问题的基本思路和步骤。步骤思路o (1)利用对称,转移其中一条线段。(若不 是对角线为对称轴的图形,通过翻折,补形) 移o (2)利用两点之间线段最短这个公理,寻找 两线段和最短时动点所在的位置。找o (3)利用已知条件求线段的值求。求解 前的过渡的写法很重要,举个例子(例:AM=DM 即要求A
8、M+MN的最小值则为求 MN+MD的最小值 根据两点之间线段最短 当M为ND与BC交点F时 ,MN+MD的最小值)大概内容如此即可。o (4)最后下结论。(例:AM+MN的最小值为 )题目o 说了这么多,大家对这方面的知识也有所了解了吧 ,那么,让我们一同看看这道中考题,看看能不能轻松 的解决。o 题目:已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3 ),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点。o(1)求此抛物线的解析式。o(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析 式。o(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某 点(设为点E)在到达抛物线的对称轴上某点(
9、设为点F ),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E 、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长。解答(第一问)o解答:首先,依题目条 件,大致画出图来 ,如图。题目说抛 物线y=ax2+bx+c与y 轴交于点A(0,3) ,与x轴分别交于B (1,0)、C(5,0 )两点。也就是点A ,B,C均满足函数 解析式。解答(第一问)o解:依题意得方程组 :o c=3o a+b+c=0o 25a+5b+c=0o解得: a=0.6o b=-3.6o c=3解答(第二问)o解答:(2)由题目得:D 为线段OA的一个三等 分点,观察图形,满 足这个条件的点有两 个,因此有两种情况 ,所以,我们采用分
10、类讨论。解答(第二问)o解:分类讨论:o 当点D的坐标为(0,1)时,o 设此函数解析式为y=kx+1o 则有5k+1=0o k=-0.2o 此函数解析式为y=-0.2x+1o 当点D的坐标为(0,2)时o 设此函数解析式为y=kx+2o 则有5k+2=0o k=-0.4o 此函数解析式为y=-0.4x+2解答(第二问)o综上所述:当点D的坐标为 (0,1)时,函数 解析式为y=-0.2x+1 。当点D的坐标为 (0,2)时,函数 解析式为y=-0.4x+2 。解答(第三问)o解答:(3)题目说M是OA的中点,则,我们可以求 出M的坐标,为(0,1.5)。题目说到达抛 物线的对称轴上某点,我们
11、应先找到它的对 称轴,这并不难,它应该是经过点(3,0) 垂直于x轴的直线。我们要求的是一个最短 路径,在此,我介绍两种方法。解答(第三问)o方法一,题目说线段先到 达x轴上的某点,再到 达抛物线的对称轴上 某点,最后运动到点A ,这很像是将军饮水 问题,于是我便依照 类似与解决将军饮水 问题的方法,作点M关 于x轴的对称点M, M坐标为(0,-1.5 )。解答(第三问)o 这样,就变成了 典型的将军饮水问题 。只需做点A关于抛物 线对称轴的对称点A ,A坐标为(6,3) ,连接MA,与x轴 相交的是点E,与抛物 线对称轴相交的是点F 。把相对应的线段还 原回去,就是红色的 部分。解答(第三问
12、)o 接下来,我们应 该求直线MA的函 数解析式,我们不妨 设直线MA的函数 解析式为y=kx-1.5o则有:6k-1.5=3o解得:k=0.75o则此函数解析式为 y=0.75x-1.5。解答(第三问)o 不难求出,它与x 轴的交点为(2,0) ,即E点坐标为(2,0 ),与抛物线对称轴 交点是(3,0.75), 即F点坐标为(3, 0.75)。最后,连接A A,根据勾股定理, 求出MA的长为7.5 。即,最短路程长为 7.5。解答(第三问)o方法二:o 这种方法与方法一十分类 似,思路大体相同,只是其中 一个环节要注意,当连接AM 后,不要认为此时与x轴的 交点就为要求的点E,要求的 点E应该是它关于抛物线对称 轴的对称点。当然,这道题也 可以先做点A关于x轴的对称点 ,有兴趣大家可以试一试。