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1、前页前页前页1 1目录后页返回1 1前页 定理1.6.4 置换 不相交的轮换1.61.6置换群与对称群置换群与对称群 一、置换群的定义一、置换群的定义 定理1.6.1 例1 例2 定理1.6.2 对称群的阶 例5 例3 定义1.6.2 不相交的轮换 例4 例6 定理1.6.5 置换对换 定理1.6.3 轮换的性质 二、置换群的构成二、置换群的构成 定义1.6.1 轮换前页前页前页2 2目录后页返回2 2前页 三、置换群的分类三、置换群的分类 定理1.6.6 唯一性 定义1.6.3 偶、奇置换 定理1.6.8 构成子群 定义1.6.4 交换群 定理1.6.7 奇、偶置换个数1.61.6置换群与对
2、称群置换群与对称群 例8 例7前页前页前页3 3目录后页返回3 3前页一、置换群的定义一、置换群的定义 在1.4中, 我们证明了非空集合 的全体可逆 变换关于映射的合成构成集合 的对称群 , 并且 把 的任一子群叫做 的一个变换群. 如果 是由 个元素组成的有限集合, 则通常把 的一个可逆变换 叫做一个 阶置换置换(permutation), 把 叫做 次对称群对称群, 并把 记作 , 同时称 的子群为置换群置换群(permutationgroup). 前页前页前页4 4目录后页返回4 4前页定理定理1.6.1 每一个有限群都同构于一个置换群. 定理定理1.6.2 次对称群 的阶是 由于集合
3、的元素本身与我们所讨论的问题无 关, 所以可不妨记 以下, 我们总假定 就代表这个集合. 设 为 的任 一置换, 如果 把1映成 ,2映成 , , 映成 , 则 可以把这个置换记作 前页前页前页5 5目录后页返回5 5前页其中第一行表示集合 的 个元素, 第二行的元索 表示第一行的元素 在映射 的作用下所对应的 象. 由于集合 的元素的次序与映射 是无关的, 所 以我们也可把 表示成 前页前页前页6 6目录后页返回6 6前页等等, 只要在 下两行的元素上下对应就可以了. 观察(1.6.1)式我们发现, 如果固定第一行元素的次序, 则第二行 就是的一个排列, 且每一 个置换都惟一对应了一个这样的
4、排列. 反之, 每一个 级排列也可按(1.6.1)式得到惟一的一个 阶置换. 由于 个数共有 个 级排列, 所以 个元素的集合共 有 个 阶置换. 前页前页前页7 7目录后页返回7 7前页例例1 写出 的全部元素. 解解 按（1.6.1）式, 我们只要在每个置换的第一行 按顺序写上1,2,3, 再在第二行分别写上,1,2,3的全部6 个排列即可. 据此, 我们得到 的六个元素为 前页前页前页8 8目录后页返回8 8前页例例2 设置换 将1变为3,2变为5,3变为2,4变为4,5变为1, 则按(1.6.2)式, 我们还可以把这个置换写成前页前页前页9 9目录后页返回9 9前页由置换的定义容易知道
5、,在 阶置换中, 恒等置换是群 的单位元, 的逆元为其逆置换 置换前页前页前页1010目录后页返回1010前页(F1) 设置换 ,则对任一 阶置换 ,证证 首先, 由于置换是一一对应, 所以恰好包含了集合 中的 个数.又对任意的 前页前页前页1111目录后页返回1111前页所以 将 映到 , 即 前页前页前页1212目录后页返回1212前页二、置换群的结构二、置换群的结构 定义定义1.6.1 设是一个 阶置换 .如果存在1到 中 的个不同的数 使并且 保持其余的元素不变,则称 是一个长度为 的轮换轮换(cycle), 简称 轮换, 记作 . 2轮换称为对换对换(transposition).前
6、页前页前页1313目录后页返回1313前页定义定义1.6.2 设 与 是两个轮换, 如果则称 与 为两个不相交的轮换.前页前页前页1414目录后页返回1414前页定理定理 1.6.3 任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的.证证 设 与 是两 (1) 如果 则 个不相交的轮换， 是 中的任意一个数. 所以前页前页前页1515目录后页返回1515前页(2)如果 . 从而 ,所以 (3)同理可证, 如果 ,也有 这就证明了结论.则前页前页前页1616目录后页返回1616前页定理定理1.6.4 每一个置换可表为一些不相交轮换的 的乘积. 证证 对 的元素个数 用数学归纳法. 当 时,1阶置换只有 ,
7、已经是轮换, 因此结论对 成立. 假定结论对 成立, 考察 阶置换 前页前页前页1717目录后页返回1717前页 (1)如果 , 即 令 则 是一个 阶置换. 由归纳假设， 可表为一些 不相交轮换的乘积将 看作 阶置换, 即得前页前页前页1818目录后页返回1818前页(2)如果 , 则有某个 , 使得 令 由(1)所证, 可表为不相交轮换的乘积. 设这里, 为互不相交的轮换. 则前页前页前页1919目录后页返回1919前页考察其中包含 和 的轮换, 则仅有两种可能:(1) ; (2) . 在第一种情况下, 我们有在第二种情况下, 我们有因此 可表为不相交轮换的乘积.从而由归纳法知结论前页前页
8、前页2020目录后页返回2020前页(F2) (F3) 成立.此外，在上面的证明过程中，我们还得到等式.前页前页前页2121目录后页返回2121前页所以解解 容易看出, 以下列的顺序作用与 的元素上: 例例3 将 表为不相交轮换的乘积.前页前页前页2222目录后页返回2222前页例例4 三次对称群 的六个元素的轮换表示为:前页前页前页2323目录后页返回2323前页例例5 将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积:解解 设 则有 由此得证.前页前页前页2424目录后页返回2424前页(F4) 如果 是一个 轮换, 则 (F5) 如果 是一些不相交轮换的乘积 其中, 是 轮换, 则 . 例例6 设
9、 是一个7阶置换, 已知 试求解解 由已知, 是 的一个置换. 因为 是一个 轮换, 所以 也是一个 轮换, 这样从而 .前页前页前页2525目录后页返回2525前页定理定理1.6.5 每个置换都可表为对换的乘积.证证 首先, 设 是一个 轮换, 则 所以每个轮换可以 表示为对换的乘积. 轮换的乘积, 由于每个置换可以表示为不相交所以每个置换也可以表示为对换的乘 积.前页前页前页2626目录后页返回2626前页三、置换群的分类三、置换群的分类 定理定理1.6.6 将一个置换表为对换的乘积, 所用对 换个数的奇偶性是惟一的. 证证 设 为任一 阶置换, 并设 已表为 个不 令相交轮换 (包括 轮
10、换)之积.显然, 由 惟一确定.设 为任一对换, 考察乘积 如果 处于 的同一个轮换 前页前页前页2727目录后页返回2727前页中, 则由(F3)知从而如 分别处于 的两个不同轮换中, 则由(F2)知从而前页前页前页2828目录后页返回2828前页设 可分别表示为 个对换和 个对换的乘积:则同理因此所以, 与 有相同的奇偶性.前页前页前页2929目录后页返回2929前页定义定义1.6.3 可表成偶数个对换的乘积的置换叫 偶置换(even permutation),可表成奇数个对换的乘积的置换叫 奇置换奇置换(odd permutation).定理定理1.6.7 当 时, 在全体 阶置换中,
11、奇置 换与偶置换各有 个. 定理定理1.6.8 在 中, 全体偶置换构成 的子群.定义定义1.6.4 由 的全体偶置换所构成的子群称 为 次交错群交错群(alternating group), 记作 . 前页前页前页3030目录后页返回3030前页例例7 的交错群 例例8 设按顺序排列的13张红心纸牌 经1次洗牌后牌的顺序变为 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K3 8 K A 4 10 Q J 5 7 6 2 9问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?前页前页前页3131目录后页返回3131前页解解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次 新的置换. 由题意知, 第
12、一次洗牌所对应的置换为 则3次同样方式的洗牌所对应的置换为因此, 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是: 9 6 5 K 3 8 10 1 2 7 J 4前页前页前页3232目录后页返回3232前页参考文献及阅读材料参考文献及阅读材料 1 Boyer, C.A., A History of Mathematics, New York, Wiley, 1968 有关代数方程理论历史的更详尽的描述, 可参见本书.2 Nathan Jacobson, Basic Algebra (I) (2ed Edition), New York, W.H.Freeman and Company, 1985 本书的第一章和第二章包含了近世代数的基本内容. 第四章则较详细地介绍了方程的伽瓦理论, 也包前页前页前页3333目录后页返回3333前页括三、四次代数方程的根式解. 此外, 对代数方程理论的历史也有较详细的介绍.
