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1、混沌理论浅说-非线性科学泉州一中物理组李春阳一、混沌理论的提出-由线性科学到非线性科学线性科学：n线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里， 这是用一根直线表征的关系。 n例如：0ss=v0+atv0t1、线性科学的成就由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先 从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自 然的 。例如：经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想 流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等 。理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素 的前提下建立起线性模型
2、，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模 型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非 线性效应。经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方 法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理 实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实 质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在 自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。 2、线性科学的局限n 线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识 或“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规 现象和本质特征，
3、才有普遍规律，才能建立一般原理 和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非 本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的 扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说 ，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存 在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在 线性现象的圈子里进行的。3、线性科学和非线性科学的差异线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。1、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之 和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用 效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加 起来仍然是方程的解；分割、求和、
4、取极限等数学操作，都是处理线性问 题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动 形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函 数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则 运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑 的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导 致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整 性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多 样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。 二、混
5、沌理论浅说-无序中的有序1、蝴蝶效应内容：n 1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演 中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨 斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的 印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远 扬了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省， 不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的 科学内涵和内在的哲学魅力。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重 要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始！ n 经典动力学的传统观点认为：系统的
6、长期 行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的 微小变化对未来状态所造成的差别也是很微 小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。 混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十 分微小的变化经过不断放大，对其未来状态 会造成极其巨大的差别。 一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马；马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小 的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。折了一匹战马，伤了一位骑士；输了一场战斗，亡了一个帝国。 伤了一位骑士，输了一场战斗； 2、蝴蝶效应与混沌学 n 1960年，美国麻省理工学院教授洛
7、伦兹研究“长期天气预报” 问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。他原本 的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报的准确性 。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极微小差异， 均会导致计算结果的很大不同。 n 由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输入的初 始条件不可能包含所有的影响因素（通常的简化方法是忽略次 要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素却可能对 预报结果产生重大影响，导致错误的结论。由此，洛伦兹认定 ，尽管拥有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压 等），也难以获得准确的长期天气预报。 3、什么是混沌呢？ n 它的原意是指无序和混乱的状态（混
8、沌译自英文Chaos）。 这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己 的规律。n 混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用 。n 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生 物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域， 成为一门新兴学科。 n 科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的 貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为 却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。 进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线 性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为 线性系统，而线性系统大多是由非线
9、性系统简化来的。因此， 在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的！ 4、混沌的特征1、对初始条件的敏感依赖性。3、混沌的内部存在着超载的有序。 2、极为有限的可预测性。1）、对初始条件的敏感依赖性n 这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条件的微小差别在最后的现 象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在 他的玩具天气模型中发现了这一特性。n 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会 放大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车 祸，又导致交通中断几小时，又导致一连串的误事。然而混沌意味着 这种临界点比比皆是。它们无孔不入
10、，无时不在。在天气这样的系统中， 对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的 后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺 度，把初始的随机性放大。在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万 个业主一夜之间改变策略，从而导致经济形势的巨变，我们至少从1997年 东南亚金融危机中感到了这一点。 2）、极为有限的可预测性n 当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现 为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌 现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升 降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级
11、等等 。 n 信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除 不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的 预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息 的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。那么信 息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理学家认为，来自微观尺度的热 库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再以城市经济运动为例 ，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自千百万个消 费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。 3）、混沌的内部存在着超载的有序 n 混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具 有相似性，即
12、所谓的自相似性。混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普 适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和 Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出， 再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向 一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。值得注意的是前一个函 数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表示非线性程度加大，当 非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。 5、混沌学的意义n 混沌的发现和混沌学的建立，同相对 论和量子论一样，是对牛顿确定性经典 理论的重大突破，为人类观察物质世界 打开了一
13、个新的窗口。n 所以，许多科学家认为，20世纪物理 学永放光芒的三件事是：相对论、量子 论和混沌学的创立。 6、身边的混沌现象（1） n1. 当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混 沌（混乱）！”她的话可能正确，但是她一定不会知 道：混沌里蕴含着秩序。那些乱七八糟的书籍、五颜 六色的果皮糖纸、臭气熏天的袜子里都隐藏着一种秩 序，只是等待您的发现。 n2. 美国有句言语“一根稻草能压死一头骆驼”，这是 蝴蝶效应的最好体现。小的事情往往能产生让人难以 预料的结果。但是，永远是这样的吗？不是！如果放 在骆驼脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不会压死 骆驼的脊背，可能还会为骆驼送上一份美餐。同样的
14、道理，并不是只要北京蝴蝶拍动一下翅膀，就真的 能够引起纽约的一场风暴。 身边的混沌现象（2）n3. 当您去海边游玩的时候，您可曾想到过您是否能 测出海岸线的长度？其实，您永远也测不出它的长度 ，因为它是分形的。您使用的度量尺寸却精确，那么 得出的结果就越长。 n4. 一个正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的话，您 的心脏越健康。 n5. 混沌理论已经被用来决定为孩子种植麻疹疫苗的最佳时间。 身边的混沌现象（3）n6. 人口动力学中指出：在动物种群，如果数量上不 存在混沌或者变异，那么，这个种群必将灭亡。 n7. 冥王星的运行轨道不规则，因为太阳系中存在着 的混沌。 n8. 一大群人的行为是可以预测
15、的，因为最前面的领 路人影响极为重要。这就象群 飞的大雁。 身边的混沌现象（4）n9. 学习音乐演奏是一件非常艰辛的事情，需要反复 地练习。开始演奏一首曲子时可能一塌糊涂，但是， 不断练习就能产生美好的结果，这是一个较好的反馈 循环，最终，有序从混沌中产生，优美的音乐从您的 手指间流出。 n10. 流行是观察自相似特性的一个很好的例子，身 边的朋友们穿着相同的衣服，留着相同的发型，甚至 使用相同颜色的指甲油。如果流行是一种分形的话， 那么，是什么样的混沌过程产生了这样的分形呢？ 图1 耗散系统（能量不守恒的有摩擦的系统）中的混沌 1963年美国气象学家洛仑兹在大气科学杂志上发表“确定性非周期流
16、“ 一文，给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平 面上的投 影，右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数 值解，只要不人为干预，轨道会永远运 动下去。 图2 保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭 圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构， 层层嵌套。左上图为参数取0.8时, 右上图为 参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。随着参数的增加（相当对非 线性增强） ， 混沌区越来越大。在这里，混沌区与规则区 交织在一起，相互渗透，本图为PC机绘制。 几种混沌图片（1）几种混沌图片（2）几种混沌图片（3）几种混沌图片（4）混沌的应用n1、混沌与经济学n2、混沌与艺术n3、混沌与学习1、混沌与经济学-温州炒楼风 n温州炒楼风的肆意蔓延，少不掉一个炒楼故 事的推波助澜：“1999年，温州人余先生以每 平方米2700元的价格在杭州城西买下28套商 品房，当该楼盘
