MPA联考数学-定积分

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1、第五章 定积分定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的definite integral不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分.思想方法.1第五章 定积分基本要求理解定积分的定义和性质,微积分基 本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积 分表达一些几何量与物理量(如面积、体积 、弧长、功、引力等）的方法.2第一节 定积分的概念与性质定积分问题举例 定积分的定义关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义小结 思考题 作业 定 积 分定积分的性质* *definite integral31.曲边梯形的面积定积分概念也是由大量的实际问题抽

2、象出求由连续曲线一、定积分问题举例定积分的概念与性质来的, 现举两例.4用矩形面积梯形面积（五个小矩形）（十个小矩形）思想以直代曲显然,小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积5采取下列四个步骤来求面积A. (1) 分割(2) 取近似定积分的概念与性质长度为为高的小矩形,面积近似代替6(3) 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4) 求极限 为了得到A的精确值,取极限, 形的面积:分割无限加细,定积分的概念与性质极限值就是曲边梯72.求变速直线运动的路程思想以不变代变设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数, 求物体在这段时间内所

3、经过的路程.思路把整段时间分割成若干小段, 每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加, 便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值定积分的概念与性质8(1) 分割(3) 求和(4) 取极限路程的精确值(2) 取近似定积分的概念与性质表示在时间区间内走过的路程.某时刻的速度9二、定积分的定义设函数f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入定义若干个分点把区间a,b分成n个小区间, 各小区间长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点:2) 方法一样;1) 量具有可加性,3) 结果形式一样.定积分的概念与性质10被积函数被积

4、表达式记为 积分和怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分.定积分的概念与性质积分下限积分上限积分变量a,b积分区间11(2) 的结构和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性 进行推理.定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质有关;注无关.而与积分变量的记号无关.12曲边梯形的面积曲边梯形的面积 的负值1. 几何意义定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义13几何意义定积分的概念与性质各部分面积的代数和.取负号.它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条直线 x =a, x

5、= b之间的在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积14例解2. 物理意义t = b所经过的路程 s.oxy作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻定积分的概念与性质定积分表示以变速15定理1定理2或记为黎曼 德国数学家(18261866)定积分的概念与性质四、关于函数的可积性可积.且只有有限个间 可积.当函数的定积分存在时,可积.黎曼可积,断点,充分条件16解例 用定义计算由抛物线定积分的概念与性质和x轴所围成的曲边梯形面积.直线小区间的长度取17定积分的概念与性质对于任一确定的自然数积分和当n取不同值时,近似值精度不同.n取得越大,近似程度越好. 18定积分的概念与性质讨论定积

6、分的近似计算问题.存在.n等分,用分点分成n个长度相等的小区间,长度取有每个小区间对任一确定的自然数19定积分的概念与性质取如取矩形法 公式矩形法的 几何意义20对定积分的补充规定说明说明定积分的概念与性质五、定积分的性质在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小21证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1定积分的概念与性质22证性质2性质1和性质2称为定积分的概念与性质线性性质.23补充补充例 (定积分对于积分区间具有可加性)则性质3定积分的概念与性质假设的相对位置如何,上式总成立.不论24证性质4性质5定积分的概念与性质如果在区间则25解 令于是定积分的概念与

7、性质比较积分值和的大小.例26性质5的推论1证定积分的概念与性质如果在区间则于是性质5 如果在区间则27证说明性质5的推论2定积分的概念与性质性质5 如果在区间则可积性是显然的.由推论128证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6定积分的概念与性质分别是函数最大值及最小值.则29解定积分的概念与性质估计积分例30解定积分的概念与性质估计积分例31证由闭区间上连续函数的介值定理:性质7(定积分中值定理）定积分的概念与性质如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点 使下式成立:积分中值公式至少存在一点 使即 32定理用途 注定积分的概念与性质性质7(定积分中值定理） 如果函数在闭区间 连续

8、,则在积分区间至少存在一点 使下式成立:无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解平均值公式 求连续变量的平均值要用到.如何去掉积分号来表示积分值.33解例定积分的概念与性质定积分几何意义求电动势在一个周期上的 平均值34积分中值公式的几何解释定积分的概念与性质至少存在一点 在区间 使得以区间为底边,以曲线 为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的一个矩形的面积.35例证 由积分中值定理有(a为常数)定积分的概念与性质363. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用) 4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.定积分的概念与性质六、小结1. 定积分的

9、实质: 特殊和式的极限.2. 定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变.四步曲:分割、 取近似 、求和、 取极限.思想 方法37思考题1证夹逼定理即得定积分的概念与性质38思考题2解 由定积分几何意义可知定积分的概念与性质用定积分的几何意义计算并求所围成图形的面积(如图).图形,39定积分的概念与性质40第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法小结 思考题 作业定积分的分部积分法 definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章 定积分41上一节的牛莱公式将定积分的计算的形式,而不定积分可用换元法 和分部积分法求

10、积 , 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了.定积分的换元法和分部积分法归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分 常可使得计算更简单.42定理1则有定积分换元公式假设函数定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法函数 满足条件:(1) (2) 具有连续导数,且其值域definite integral by substitution43证故有则由于N-L公式N-L公式则所以存在原函数定积分的换元法和分部积分法原函数,44注由于积分限做了相应的 故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法: 可用N-L公式;从换元的观点.(1)换元公式仍成立;(2) 在定积分换元公式中

11、, 改变,(3)定积分的换元法和分部积分法45例 解在用“凑”微分的方法时, 不明显地写出 下限就不要变.定积分的上、新的变量 t ,注定积分的换元法和分部积分法46或例 解原式这是半径为a的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法47例 解 原式定积分的换元法和分部积分法48解 令原式定积分的换元法和分部积分法49几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分 的例子.换元积分例 证 由于由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.通常定积分的换元法和分部积分法作变换,还可以证明一些定积分等式,50利用这一结果计算:则定积分的换元法和分部积分法51可得:由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.奇

12、、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 且有则则定积分的换元法和分部积分法52例 定积分的换元法和分部积分法53证 (1)三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式例 由此计算设定积分的换元法和分部积分法证毕. 54定积分的换元法和分部积分法设证由此计算55说明:尽管但由于它没有初等原函数,故此积分无法直接用N-L公式求得.定积分的换元法和分部积分法56周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.(留给同学证)定积分的换元法和分部积分法57例 解 法一定积分的换元法和分部积分法58法二即定积分的换元法和分部

13、积分法59解被积函数中除积分变量t外还含有变量x, 故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换,则分析定积分的换元法和分部积分法60定积分的换元法和分部积分法选择题设函数连续,则下列函数中,必为偶函数的是分析2002年考研数学选择3分61定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法设有连续的导数,则definite integral by parts定理2由不定积分的分部积分法及N-L公式.62例 解定积分的换元法和分部积分法原式=63例 解定积分的换元法和分部积分法 1990年考研数学计算5分原式=64例 解无法直接求出所以因为没有初等原函数,定积分的换

14、元法和分部积分法分析被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.选择积分上限的函数为65定积分的换元法和分部积分法注今后也可将原积分化为二重积分计算.66例 证明定积分公式证设n为正偶数n为大于1的正奇数J.Wallis公式十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出.定积分的换元法和分部积分法67积分 关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止因为定积分的换元法和分部积分法68所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法69例 为正偶数为大于1的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用.注定积分的换元法和分部积分法70例 解用公式n为正偶数定积分的换元法和分部积分法71解用定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法72解 则是奇函数,是偶函数,周期函数在任何长为一周期的区间上 的定积分都相等.定积分的换元法和分部积分法n为正偶数73定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法三、小结定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式74思考题1 试检查下面运算是否正确? 如不正确,定积分的换元法和分部积分法希指出原因.解答注意必定大于零.上述运算的问题在于引进的变换不满足换元法则的前提条件.75思考题2解答定积分的换元法和分部积分法76