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1、天津科技大学 2014 届本科生毕业论文1毕业论文均值方差标准下确定给付型养老金的最优投资策略天津科技大学 2014 届本科生毕业论文21 前 言1.1 研究背景与选题意义养老保险是社会保障体系的重要组成部分，是社会保险五大类型的最重要的产品。养老保险是各个国家按照国法或律例，目的是办理劳动者在达到规定的年龄，又或者是由于年龄过大，进而丧失劳动能力以及退出劳动岗位而建立的一种制度。随着经济和社会的不断发展，养老保险制度在老年人的生活保障中发挥着越来越重要的作用。在世界人口的因素下，高龄人所占的比例越来越大，人数也越来越多，落实好养老保险制度等于稳定了世界相当部分人口的基本生活。所以，一系列养老
2、保险的相关问题已经成为了对社会的稳定和发展阻碍，需要引起高度重视。养老金的设计方式主要分为两种，其一是确定给付（DB，defined-benefit）型，另一个则是确定缴费（DC，defined-contribution）型。顾名思义，确定给付型养老金的给付额是有基金管理者提前确定的，为了维持养老金的平衡，缴费率是可以随时调整的，但是，基金管理者将会承担相关的金融风险。反过来，对于确定缴费型养老金来说，提前确定的则是缴费率，给付额的多少取决于养老金的投资回报率，也就是说，投保人将承担一系列的金融风险。对于养老金的发展史，最开始，许多的国家都是采用 DB 型的养老金计划，但随着社会经济的发展，D
3、B 型养老金已经不能满足时代的要求，所以，DC 型养老金慢慢的登上养老金历史的舞台，越来越多的国家开始重视 DC 型养老金计划。在当下的时代，世界范围内的老龄化状态越发严重，给了养老金支出巨大的压力，具体表现为以下几个方面：一，人们的普遍寿命有所延长，迫使退休人员领取的养老金的年限增加；二，人们的工作年限变少，养老金的缴费年数变少；三，受于计划生育的限制，导致出生率在下降，工作的人口比例变少，导致了在缴费率恒定的情况下，缴费金在养老保险计划上变少。众所周知，中国同样面临着人口老龄化这么一个问题，所以，对养老基金的投资就变得非常重要。结合国内外的经验，要将投资的安全性放在第一位。但是对于投资来说
4、，任何投资都具有一定的风险性，所以这时候就要利用数学方法来降低风险系数，对风险系统的分析和评估，进而得到最优的投资策略。对于实际的投资来说，风险资产有多种，每种风险资产的方差和收益都不尽相同，对策略的影响也不完全相同。所以，把多种风险资产考虑进去对于研究确定给付型养老金的最优投资策略都是有非常重要的意义的。不管是在理论上或是在实际的操作中。天津科技大学 2014 届本科生毕业论文31.2 国内外研究现状1.2.1 确定给付型养老金的最优化投资策略 退休金在 DB 型养老金中是预先确定的，是基于对工资和工作几年的水平，和贡献率由估值调整。但是由于人口统计和经济变量等因素，实际的养老金计划很难符合
5、之前的假设，所以，养老金肯定会出现剩余。同时，由于养老金的来源还来自其投资回报。所以，DB 型养老金的研究重点就是最优投资问题和缴费问题。对于目标函数来讲，研究者将 DB 型养老金的最优化投资问题模型化为线性二次最优控制问题。它类似于 Merton 模型，假设为线性动态。基金管理者的目的是最小化支付风险和偿付能力最小化。第一种风险与养老金的稳定性有关；第二种风险与养老金的安全性有关。每一个基金管理者肯定都是希望最小化风险的。凸组合中的权重系数表示两种风险的相对重要性。此方法获得的解为这个多目标规划的一个帕累托最优，可以解释为，在不使一个风险增加的情况下，另一个风险不降低。之后的研究将缴费率与精
6、算负债的比例替换为缴费率，代替为基金水平，并对之前的最优化目标做出了修正。之后的研究继续采取之前提到的双目标的方法。正因为养老基金的总额是非常庞大的，所以养老金的水平由其投资回报的好坏决定着，这个问题是非常重要的。从开始的养老金投资研究来说，主要是从总体假设养老金投资的回报率是随机的，并没有考虑组合养老保险。在现在这个年代的研究中，有的研究者把投资回报率假定为独立同分布过程，自回归过程和移动平均过程。可以想象，这几种假设是不符合实际的，原因就是不一样的投资组合所带来的回报率也是不尽相同的。结合上面的分析，之后的研究基本上都抛弃了这种整体的投资回报率假设，把假设投资在了风险资产和无风险资产。在他
7、们的研究中，一些研究人员将养老金假设投资在 n 种风险资产和一种无风险资产中，在这两种资产中，其中的风险资产服从几何布朗运动。还有一些研究者假定养老金给付额与风险资产一起服从于条扩散过程，将最小化缴费与偿付风险作为目标，运用随机的控制技术求得其显性解，进而发现了最有投资策略和补偿成本之间存在着一种线性关系一系列等结论。1.2.2 确定缴费型养老金的最优化投资策略在养老金的起步阶段，绝多大数国基本上都是采用的确定给付型养老金计划。然而，随着世界经济的发展，确定缴费型养老金计划在保障人民群众的基本生活上起着越来越重要的地位，好多的国家开始从 DB 型养老金转向 DC 型养老金。确定缴费型养老金提前
8、确定的是缴费率，以后的给付额完全依赖于投天津科技大学 2014 届本科生毕业论文4资收益，投保人独自承担风险，主要风险包括：积累阶段的投资风险与退休时的年金风险。很多学者在对养老金的积累阶段上进行了非常深入的研究。在对其的研究当中，基本都是最大的终端财富期望效用的退休时间用于统计目的，统计整理后得出最优投资组合策略。效用函数分为两种，其一是常相对风险厌恶（CRRA）效用函数，又可以称作幂效用函数或对数效用函数；其二是常绝对风险厌恶（CARA）效用函数，又可以称作指数效用函数。除此之外，Haberman 将养老金每一时刻的实际水平与其目标差值的平方定义为损失成本，也就是说，将二次损失函数最小化当
9、做目标。但是在实际的操作当中，不同的投资人挑选适合自己的效用函数是非常困难的，更难的是，不知道投资者是如何衡量风险和收益的决策的。以均值-方差为目标研究 DC 型养老金的最优投资问题基本上就可以解决效用最大化的问题。可是，把均值-方差引入到养老金的研究还是比较少。Markowitz 最早建立了单周期离散时间的均值-方差模型，Richardson 运用鞅方法将这个模型推广到了连续时间下，再后来，一些研究者使用随机控制等理论将其分别增添到离散时间多周期的连续时间下。上述的文献中，基本上都是把风险资产假设为服从几何布朗运动的。很多学者基于风险的最优退休为了对付养老金资产管理退休并取得了一系列的相关研
10、究。但是，绝大多数研究者中，都不可避免的集中讨论退休时的退休年金的方案设计，只有极少数研究了各个不同的方案的最优投资问题和一系列的影响。天津科技大学 2014 届本科生毕业论文52 基本知识更多的学者在对于养老金的最优化管理的研究中通常采用的是 Merton 提出的随机最优控制的理论和方法。2.1 最优化模型和控制规划假设状态过程为一个维过程，而设为一个维的布朗运动，维过tXntBdk程为一个控制过程。继续设函数为：tu, u:nknu RRRR:nkn dRRRR假设一个点，就要考虑这个随机微分方程n nXR00( ,)( ,)ttttttdXt X u dtt X u dB Xx （2-1
11、）去解决这么一个最优控制问题的时候，第一步需要建立一个允许控制过程的集合。在随机控制理论中，控制过程是适应状态过程的，可以说是在时tX刻 的时候控制过程的值只关乎对它以前的的观察值。我们把函数ttutX设为一个确定型的函数：( , )g t x:nkg RRR定义控制过程( ,)ttug t X我们把形式像这样的函数 g，称为反馈控制规则，在这之后的控制规则都是指的是反馈控制规则，可以写为：utu ( ,)tt X对于上面的这个等式，左右两边的“u”表示的并不一样。左面的 u 表示的是控制在某一时刻的值，也就是在集合中的一个点，而对于等式右边的 u，kR则为一个函数。假设选定了一个固定的控制规
12、则，如果把它代入到（2-1）中，将会( ,)u t X得到一个随机微分方程：( , ( ,)( , ( ,)tttttdXt X u t Xdtt X u t XdB对于控制问题来说，约束条件是不可少的，因此，对任意一个 ，有，ttuU代表的是控制元素的集合。控制规则的定义如下。U定义 2.1 一个控制规则是允许的，如果天津科技大学 2014 届本科生毕业论文6（1） 对所有的都有；ntRtuU（2） 对任意一个给定的初始点，随机微分方程：( , )t x( , ( ,)( , ( ,)tssssstdXs Xu s Xdss Xu s XdBXx （2-2）有一个唯一解，通常用来表示允许控制
13、规则的集合。U从式子（2-2）中，可以发现，如果和是给定的，那么这个方程的解的过程就完全取决于初始点和所选择的控制规则，所以，可以把方程Xx（2-2）的解过程用来表示。, x uX如果把（2-2）写的更明确，需要做以下定义。定义 2.2 对于上式，关注控制值可控制规则 u 的区别，有（1） 对于任意一个固定向量，作以下定义kuR( , )( , , )uut xt x u( , )( , , )ut xt x u( , )( , , ) ( , , )uCt xt x ut x u（2） 对任意一个控制规则 u，定义( , )( , , ( , )uut xu t x u t x( , )(
14、, , ( , )ut xt x u t x( , )( , , ( , ) ( , , ( , )uCt xt x u t xt x u t x( , )( , , ( , )uFt xF t x u t x(3) 对任意一个固定向量，定义偏微分算子kuRu21,11( , )( , )2nn uu ii j ii jiiju t xCt xxx x （4）对任意一个控制规则 u，定义偏微分算子u21,11( , )( , )2nn uuu ii j ii jiijut xCt xxx x 根据上面的定义，对于一个给定的控制规则 u，可以把式子（2-2）改写成uuu ttdXdtdB另外，对
15、于一个给定的控制规则和相应的受控过程，常用符号来uXtu表示。现在来讨论在控制模型的目标函数。考虑给定的两个函数:nkF RRRR天津科技大学 2014 届本科生毕业论文7:nRR定义模型的价值函数为函数0J0:JUR为00( )( ,)()Tuu ttTJ uEF t Xu dtX在这其中，是（2-2）的解，也可以写成。uX, x uX上面的随机控制模型的实质，就是对于所有的，求得最大值，uU0( )J u所以，可以定义最优值是A0JA0 0sup( )JJ u假如存在一个允许控制规则，使得uA0 0( )J uJ就可以把这个允许控制规则称作是该随机控制问题的一个最优控制规则。2.2 HJB
16、 方程的导出通常，关于最优控制，不禁要问：（1） 它有最优的控制规划么？（2） 假设有的话，如何发现它？对于问题（2），我们利用的办法是把之前一节的规划问题融入到一个偏微分方程中，换句话讲，就是将方程求解。那么怎么才能把问题放到 HJB 方程当中去呢？我们假设一个点，0,tT并固定的一个点，之后从点来开始研究。nxR( , )t x定义 2.3 假设方程( , ( ,)( , ( ,)uuuuu ssssssdXs Xu s Xdss Xu s XdB(2-3)和约束条件( , )( , ),t nXx u s yUs yt TR （2-4）在上式的约束条件下，可以把控制问题定义为对下式的最大化问题：( , )P t x（2-5）,( ,)()Tuu t
