自动控制原理第4章根轨迹

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1、第四章 根轨迹本章教学目标与要求l掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟 悉根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。l 熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负 反馈），了解参数根轨迹的含义。l了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在 与s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制 系统分析与设计中的应用。l了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。 l引言设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折 衷和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置 ，并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的 影响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点 上产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动 ，磁盘转轴的

2、磨损和摆动，以及元器件老化引起 的参数变化等。 4.1 根轨迹的基本概念 1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统 开、闭环传递函数之间的内在联系，提出一种由 系统开环零、极点的分布确定闭环系统特征方程 根的图解方法根轨迹法。这是一种由分析开 环系统零、极点在复平面上的分布出发，用图解 表示特征方程的根与开环系统某个或某几个参数 之间全部系统的方法。它不仅适用于单回路系统 ，而且也可用于多回路系统。他已成为经典控制 理论的基本方法之一，在工程上得到广泛的应用 。 4.1.1 根轨迹的概念 根轨迹指的是系统某个参数（如根轨迹增益 或开环零、极点）变化时，闭环特征根在s平面上移动 的轨迹。

3、下面结合图4.1所示系统，说明根轨迹的基本概念 。 图4.1 系统结构图 系统开环传递函数为 系统闭环传递函数为 闭环特征方程为 闭环特征根为 （4-1） （4-2） （4-3） 上式表明，特征方程的根随着变量K的变化 而变化，如果令K从零变化到无穷，可以用解析 的方法求出闭环系统极点的全部数值，将这些数 值在s平面上标出，并用光滑的线连接，如图4.2 所示，图中的粗实线为根轨迹，箭头表示随着K 值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为 代表与闭环极点位置相应的K值。 对图4.1所示的例子，在推导特征根和 可调参数之间的关系时，根轨迹可用解析法绘制 。但对于高阶系统，很难写出特征根与参数之间

4、 关系的数学表达式。控制系统分析法的关键就是 要有一种简单、实用的根轨迹绘制方法，以便在 特征方程根的解析表达式不易写出时，利用根轨 迹图分析控制系统的性能。 4.1.2 根轨迹的条件 闭环系统传递函数如图4.3所示 图4.3 闭环控制系统闭环传递函数为 （4-4） 特征方程为或满足上式的s点均为闭环系统的特征根（ 闭环极点），反过来，根轨迹上的所有点均必须 满足式上式。上述式子称为根轨迹的基本方程。上式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数 ，一般情况下开环传递函数写成零、极点形式为 （4-6） （4-5） （4-7） 闭环特征方程为上式中， ， 分别为控制系 统的开环零点和极点，他们可以是

5、复数范围 内的任何数。开环传递函数分子有理式的阶 数是m，分母有理式的阶数是n。当系统的开 环传递函数写成上述形式时， 称为根轨迹增 益，为参变量，其值从零变化到无穷大。 （4-8） 系统的开环传递函数还可以写成 下述时间常数的形式 上式K中称为系统的开环增益。注意K和K* 的区别 。绘制根轨迹的基本方法就是根据系统 的开环零点，极点以及根轨迹增益来获得系统 闭环极点的轨迹。因此，通常用（4-8）所示的 具有开环零、极点形式的开环传递函数来绘制 根轨迹。式（4-8）称为系统的根轨迹方程。（4-9） 因为G(s)H(s)为复变量s的函数， 式（4-8）可表示成模值方程和相角方程 式 中（4-11

6、） （4-12） 复平面上的s点如果是闭环极点，那么 它与开环零、极点所组成的向量必须满足上式的 模值条件和相角条件。从上式可以看出，根轨迹的模值增益条 件与根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。 我们说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分 必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角 条件确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上 该点对应的K*值。 4.2绘制系统根轨迹的基本法则 4.1节介绍了根轨迹的基本概念，根轨 迹的条件和用解析法和试探法绘制根轨迹的方法 。利用解析法和试探法绘制根轨迹对于低阶系统 是可行的，但对于高阶系统，绘制过程是很繁琐 的，不便于实际应用。 本节先讨论以根轨迹增益

7、K*作为参变量 时的180和0等相角根轨迹的绘制规则，然后介 绍系统其他参数作为参变量时的根轨迹绘制方法 。 4.2.1 等相角根轨迹的绘制规则 负反馈控制系统的典型结构图如图4.3 所示。其开环传递函数和根轨迹方程式分别如式 （4-7）和式（4-8）所示。当根轨迹增益K*大于 零时，根轨迹的幅值条件和相角条件分别如式（ 4-11）和式（4-12）所示。这种情况下绘制的根 轨迹称为180等相角根轨迹，下面讨论绘制 180等相角根轨迹的基本规则。规则1 在平面上将系统所有的开环零点以“O” 表示，开环极点以“”表示。 规则2 根轨迹的分支数，起点和终点。根轨迹 的分支数（闭环极点数）与开环有限零

8、点数m和有限极 点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。 根轨迹的分支起始于开环极点，终止于开环零点。 分支当K*从零到无穷大变化时，闭环极点在s 平面上所形成的轨迹； 起点对应于根轨迹上K*=0的点； 终点对应于根轨迹上K*=的点。 规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一 线段右边的所有开环零极点的总个数为奇数，则 这一线段就是根轨迹。规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极 点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支 趋于无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线 ）。 该渐近线与实轴的交点为 夹 角为： 【例4.1】 系统开环传递函数 为 解 1.系统开环极点p1=0，p2=0，p3=

9、-2，p4=-4， 开环零点为在z1=-1。将上述的开环零、极点分别用 “”“O”在s平面的直角坐标系中进行标注。 2. 根轨迹的分支数有4条。对称于实轴，起始点 为开环极点，终止点为开环零点和无穷远处。 3. 实轴上的根轨迹段为-2,-1，-4,-。 4. 渐近线有n-m=3条，交角为 试根据已知的四个基本规则，确定绘制根 轨迹的有关数据。 交 点为图4.6 例4.1渐近线图 规则5 根轨迹在实轴上的分离点和汇合点。 两条或两条以上根轨迹分支在复平面上某一点相 遇后又分开，则该点称为根轨迹的分离点或汇合 点。通常当根轨迹分支在实轴上相交后进入复平 面时，习惯上称为该相交点为根轨迹的分离点，

10、反之，当根轨迹分支由复平面进入实轴时，它们 在实轴上的交点称为汇合点。 分离点和汇合点的坐标是下式（4- 21）或式（4-22）的解 式 中 或其中zj为各开环零点的数值；pi为各开 环极点的数值 。（4-21） （4-22） 【例4.2】 已知单位反馈控制系统的开 环传递函数为 计算根轨迹的分离点和汇合点，以及分离点 和汇合点处的根轨迹增益。 解 首先将系统写成开环传递函数零、极点 的形式 式 中 是根轨迹增益。 令A(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,则 A(s)=1,B(s)=2s+3。代入A(s)B(s)-A(s)B(s)=0 中，得s2+8s+10=0 解

11、出上式的根为s1-1.55,s2-6.45。 根据规则2，根轨迹在实轴上的分布为-,- 4和-2,-1，从而可知s1是实轴上的分离点，s2 是实轴上的汇合点。 分离点和汇合点处的根轨迹增益分别为： 规则6 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚 轴相交。则交点上的K*值和值可用两种方法求 得。（1）劳斯判据；（2）令闭环系统特征方程中的s=j ，并 令虚部和实部分别为零而求得。 【例4.3】设系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是 根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环 零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有n-m=3条渐进线 ，

12、渐进线的倾斜角为取式中的k=0，1，2，得a=/3，5/3 。 渐进线与实轴的交点为 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与1点之 间以及2点的左边，如图4-13中的粗实线所 示。 （4）确定分离点。由式（4-21）得解 得由于在1到2之间的实轴上没有根轨迹， 故s2=1.577显然不是所要求的分离点。因此， 两个极点之间的分离点应为s1=0.423。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 闭环特征方程为 劳斯列表为s3 1 2s2 3 K*s1 s0 K*由劳斯判据，系统稳定时K*的临界值为 6。相应于K*=6的频率可由辅助方程 确定 。解之得

13、根轨迹与虚轴的交点为 。根轨迹与虚轴交点处的频率为 方法二 令s=j代入闭环特征方程式，可 得 即 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即 ，有以上规则 即可概略绘制出系统 的根轨迹图。用MATLAB 程序绘制出的根轨迹 图如图4.7所示。 MATLAB程序为 ：y=zpk(,0 -1 -2,1) ；rlocus(y) 所以图4.7 例4.3的根轨迹图 规则7 根轨迹的出射角和入射角。开环 复极点处，根轨迹的切线与正实轴的夹角为出射 角，以 标志；开环复零点处，根轨迹的切线与 正实轴的夹角为入射角，以 标志。 这些角度可按如下关系式求出 （4-28） 试确定根轨迹离开复数开环极点的出射角和 进

14、入复数开环零点的入射角。解 由给出的传递函数知，系统的开环极点 为： p1=0,p2=-2.5,p3=-0.5+1.5j,p4=-0.5-1.5j；开 环零点为z1=-1.5,z2=-2-j,z3=-2+j。 先求出射角，作各开环零、极点到复数极点 -0.5+1.5j的向量，并测出相应角度，如图4.8（a ）所示。按式（4-26）算出根轨迹在极点- 0.5+1.5j处的出射角为 【例4.4】 设系统的开环传递函数为 根据对称性，根轨迹在极点-0.5-1.5j处的出 射角为 -79。用类似的方法可算出根轨迹在复数零点 -2+j处的终止角为149.5 。各开环零、极点到- 2+j的向量相角如图4.

15、8（b）所示。 图4.8 例4.4根轨迹的入射角（a）和出射角（b） 规则8 闭环极点之和。系统的闭环特征 方程在nm的一般情况下，可以有不同形式 的表示 式中，si为闭环特征根。当n-m2时，特征方程第二项系数与K* 无关，无论K*取何值，开环n个极点之和总是等 于闭环特征方程n个根之和。在开环极点确定的 情况下，这是一个不变的常数。所以开环增益K 增大时，若闭环某些根在s平面上向左移动，则 另一部分必向右移动。 (1)试确定该系统根轨迹的分支数、起点和终 点，并标示系统的起点和终点。 (2)实轴上的根轨迹。 (3)根轨迹的渐近线。 (4)规制系统的根轨迹。 解：（1）系统中分子的阶次m=1，分母的 阶次n=3，根轨迹分支数为3； 【例4.5】 设系统开环传递函数为 （2）确定实轴上的根轨迹：实轴上区域-1， 0和-4，-2为根轨迹 （3）由规则4确定根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的夹角根据规则2，根轨迹的起点为开环极点， p1=0,p2=-1,p3=-4终点为开环零点z1=-2（有 限零点）和无穷零点z2=,z3=。渐近线与实轴的交点（4）由以上规则可以绘制出系统的概略 根轨迹图。 如图4.9是用MATLAB程序绘制的根轨迹 。 MATLAB程序为：y=zpk(-2,0 -1 -4,1) ；rlocus(y) 图4.9 例4.5题的根轨迹图 综上所述，在给定系统开环