《线性代数基础教程5.1--5.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数基础教程5.1--5.3（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.1 定义及其背景5.2 基和维数5.3 子空间5.15.1、定义及其背景这一章是上一章的续篇。上一章主要讨论的是一组（有限个）n 元向量间的线性关系，本章将在上一章的基础上讨论所有（无限 个） n元向量组成的向量空间的一些基本性质。在4.1节中我们以平面2元向量，空间3元向量为背景， 推而广之引入了n元向量，并定义了n元向量的相等、 加法和数乘等运算。进而指出如把n元向量视为n1矩 阵，则n元向量的相等、加法和数乘就是第3章矩阵运 算的相等、加法和数乘，所以向量的加法和数乘运算也 适合矩阵运算的8条规律，即有如下性质。性质对任意的n元向量、，任意数域P中的数k ，t满足8条运算规律：(1)
2、交换律 ；（2）结合律（） （）；（3）n元向量中存在零向量O，适合O ；（4）n元向量中任意向量存在负向量，使得（ ）O;（5）k(+ )=k+k;（6）(kt)=k+t; （7）（kt）k（t）; （8） 1 . 这样，数域P中所有满足这些运算规律的n元向量就构成了 一个集合，我们称这个集合为“空间” 特别地取P=R，则是n元实向量构成地“空间”，称为实向量空间.它是平面 ，空间地自然推广，也是将要引入向量空间很好地背景.定义数域P上n元向量地全体规定了加法和数量乘法，容易知道它满足8条运算规律， 我们称 为数域P上n元向量空间（或n维向量空间）.特别地当P为实数域R时， 就是（欧氏）平面
3、， 就是（ 欧氏）空间.从上述定义知向量空间是具有两个封闭的运算加 法和数乘，运算适合8条规则的非空集合这个定义所表达的意思实际上是，空间就是满 足某些性质的向量的集合。5.25.2 基和维数基和维数在第四章中我们阐明了由有限个n元向量组成的向量组 必有极大线性无关组，且极大线性无关组可以不惟一，但 其所含向量的个数是该向量组惟一确定的，称为该向量组 的秩.现将这些概念放在整个向量空间 上来考察，即考虑 中全体向量组成的向量组的极大线性无关组，由于 中任意 n1个向量必线性相关，从而 中如果有n个线性无关的向 量，它们就构成 的一个极大线性无关组. 而 中确实存在着n个线性无关的向量，由上一章
4、的结论知中的n个向量线性无关按照这样的观点，下面的例子():():都是 的极大线性无关组.从而 的秩为n.在向量空间中 的极大线性无关组和秩这两个概念有专门的术语来定义.定义中满足下列条件的向量组 称为 的 一组基：线性无关； 对 中任意一个向量均有 ， 线性 相关，从而可经 线性表出.此定义其实是说n维向量空间的基是n维向量空间的极大线性 无关组，因而n维向量空间的两组基（极大线性无关组）由相同 个数的向量组成，我们给这个惟一确定的数下一个定义.向量空间的基所含向量个数称为 的维数，记为dim. 定义确定向量空间的基和维数.例解 记则是线性无关的，且 中的任意向量均可表为故为的一组基（称为常
5、用基），.从而dim这也是我们把称为n维向量空间，中的向量称为n维向量的原因.容易看出（欧氏）平面，（欧氏）空间中常用基分别从而因中任意n+1个向量必线性相关，所以有就是我们熟悉的直角坐标系中任意n个线性无关的向量均可作为的一组基.命题下面来讨论基在向量空间中的作用. 设是的一组基.据基的定义可知， 中任何一个向量 均可经线性表示，且表示方法惟一.即其中 是惟一确定的，在基下的坐标，记为故可称为向量注记 向量 在基()：下的坐标是与基向量的书写次序有关的. .的讨论中也显现出来，读者在做相应习题时要注意这一点.例如将()改写为()：，则()也是的一组基，然而在基()下的坐标为，在基()下的坐标
6、为 这表明基是与基向量书写的次序有关的，基()与基()是 中不同的基.基的这种“有序”性在下文两组基的过渡矩阵例 在向量空间中，设向量 （1）求在的常用基下的坐标.（2）设证明：是的一组基，且求出在下的坐标. 解 （1）故在下的坐标为.（2）因所以中任意3个线性无关的向量均是的一组基。现在的行列式为所以线性无关，从而他们是的一组基.设在下的坐标为则即解得从该例子讨论中看到 在向量空间中，一般 说来同一个向量在不 同基下的坐标是不同 的.下面就来研究随着 基的改变，向量坐标 的变化规律.实际上上个例题是在解线性方程组这里A是由作为列向量构成得矩阵，b是因利用克拉默法则知道有惟一解.这再次表明：当
7、是基时，任意一个向量在下的坐标是惟一确定的.定义 设()：与()：是的两组基，向量经基()线性表示为以在基()下的坐标作为列向量构成的矩阵.借用矩阵表示形式有称为基()到基()的过渡矩阵. 因为为的基，所以当然有所以上式两边取行列式可推得所以过渡矩阵M为可逆矩阵.这个过渡矩阵在基与基之间以及不同基下 的坐标之间有什么样的用处呢？定理 设()： 的与()：是两组基，M是基()到()的过渡矩阵,是中的一个向量，在基()，基()的坐标分别为则有证 据题设有.这意味着X与均为 在基()下的坐标，据坐标惟一性得由M可逆可推出常称为基变换公式，和称为坐标变换公式.例 在向量空间中，设有两组基()：()：1
8、.求基()到基()的过渡矩阵. 若向量在基()下的坐标为 求在基()下的坐标.解 （1）设基()到基()的过渡矩阵为M，则有 .现在记 则问题归结为求线性方程组 故有 故（2）据坐标变换公式，同样由初等行变换的方法.故例 设在向量空间中有两组基 () ： ()：（1）求基（）到基()的过渡矩阵. （2）设在基（）下的坐标为求在基()下的坐标 解 （1）因在基（）下的坐标分别为 课堂练习.根据过渡矩阵的定义可以知道，基（）到基()的过渡矩阵为（2）利用坐标变换公式，相当于解线性方程组所以在基()下的坐标作业：（注：每周一早上8点交作业）P1396第1和第3题做在课本上在（欧氏）空间中，考虑一个通
9、过坐标原点的平面5.35.3 子空间子空间容易看出 上的所有向量的加法和数乘也构成一个R上的向量空间.在一方面是的一部分（子集合），同时 自身对于的运算也构成了向量空间.本节将研究向量空间中这样的子集合.这就是说的一个非空子集W称为的一个向量定义： 数域P上向量空间的两种运算也构成数域P子空间（简称子空间），如果W关于就是的一个子空间.上的向量空间. 据此上述 我们来分析一下的一个子集合W要满足什么条件才能称为 的子空间.按定义W应满足： 1 W是的非空子集；2 对任意的有（加法封闭）； .3 对任意的，对任意的有4 适合该章第一节的8条运算规律.（数乘封闭）；首先要指出的是W中向量也是向量空
10、间中的向量，故关于 的加法和数乘下当然适合8条运算规律中的（1）、（2）、故若（3）成立就能导出于是有下列定理（5）、（6）、（7）、（8）.进而考察运算规律中的（3）、（4）？及当时是否有？是否成立，即是否有 而这只要注意到定理向量空间的一个非空子集W，若关于的一个子空间。的加法和数乘封闭，则W就是的非空子集W是否构成子空间非常简便。这结果使得检验.例 在向量空间中，由零向量单独组成的集合，及而其他子空间称为非平凡子空间（或真子空间）。的子空间。这两个子空间称为自身均为的平凡子空间，例 在（欧氏）空间中，设注意到是平面，是平面，它们都是通过坐标原点 是轴，它对加法、所以也是的子空间，也是的子
11、空间。均是的子空间，而的平面，故 的子空间。注意到数乘封闭，故是例 下述的非空子集称为子空间的是（ ）（A）（B）（C）（D）.取解 取但这表明关于加法不封闭，故不是的子空间.但这表明关于数乘不封闭，所以不是的子空间.关于加法和数乘封闭，任取则从而适合类似可以证明也不是子空间.下证.故而也适合故所以是 的子空间.因此该题选从几何上看是中过原点的平面，不是中过原点的平面，前者是子空间，后者不是子空间.下面将介绍一类重要的子空间.设A是数域P上矩阵，则齐次线性方程组AX=O的解是的一个子空间.性质向量的全体证 首先由AX=O必有零解知，零向量所以W非空，其次若 则 D注记.从而这表明类似可证明对任
12、意的有即W对加法和数乘封闭。因此W是的一个子空间. 由此我们将W称为齐次线性方程组AX=O的解空间.向量空间的子空间自身也是向量空间，故有基和维数，当 时，规定 下面来讨论AX=O的解空间的基和维数.我们已经知道齐次线性方程组AX=O有基础解系，基础解系是 AX=O全体解向量W的极大线性无关组.按现在观点基础解系就 是AX=O的解空间的一组基，且可叙述成下面的性质性质设A是数域P上矩阵，且秩（A）=r，则齐次线性的一个子空间，且方程组AX=O的解向量的全体W是.W中任意n-r个线性无关的解向量都可作为W的一组基，就是W的一组基.基础解系中的例 求齐次线性方程组的解空间W的维数和一组基.解 用初等行变换化系数矩阵A为阶梯形矩阵.由秩（A）=2知，一组基可取线性方程组的一个基础解系：作业：（注：每周一早上8点交作业）P1423（3）第1题做在课本上
