《二阶矩阵与平面向量 综合检测 (5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二阶矩阵与平面向量 综合检测 (5)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、综合检测( 五)1求矩阵 M 的特征值和特征向量 105 6【解】矩阵 M的特征多项式f() ( 1)(6) | 10 5 6|令 f() 0，解得矩 阵 M的特征值 11， 26.将 11 代入方程组Error!易求得 为 属于 11 的一个特征向量将 26 代入方程组Error!易7 5求得 为属于 26 的一个特征向量综上所述， M 的特征值为01 10561 1，26，属于 1 1 的一个特征向量为 ，属于 26 的一个特征向7 5量为 .012已知矩阵 M 的一个特征值为 3，求另一个特征值及其对应的一122x个特征向量【解】矩阵 M的特征多项式为f() (1)( x)4| 1 2
2、2 x|因为 13 为方程 f()0 的一根，所以 x1由(1)(1) 40 得 21，设 21 对应的一个特征向量 为 ，xy则由Error!得 xy令 x1，则 y1.所以矩阵 M的另一个特征值为1， 对应的一个特征向量为 .1 13已知矩阵 M ，向量 ， .1 2 1 3 3 5 24(1)求向量 23 在矩阵 M 表示的变换作用下的象；(2)向量 是矩阵 M 的特征向量吗？为什么？12【解】(1)因 为 23 2 3 ，所以 M(23)3 5 24 122 1 2 1 3 ，所以向量 23 在矩阵 M表示的变换 作用下的象为 .122 8 18 8 18(2)向量 不是矩阵 M的特征
3、向量理由如下：12M ，向量 与向量 不共线，所以向量 不是1 2 1 312 3 7 3 7 12 12矩阵 M的特征向量4已知矩阵 A ，设向量 ，试计算 A5 的值12 14 74【解】矩阵 A的特征多项式为 f() 2560，| 1 21 4|解得 12， 23.当 12 时，得 1 ；21当 23 时，得 2 ，11由 m 1 n2，得Error!，得 m3， n 1，A5A 5(31 2)3(A 51)A 523( 1) 251 5232 5 35 .21 11 4353395已知矩阵 A ，其中 aR，若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到1 1a 1点 P (0， 3)(1
4、)求实数 a 的值；(2)求矩阵 A 的特征值及特征向量【解】(1) ，1 1a 111 0 3 ，0a 1 0 3a 4.(2)A ，1 1 41f() 223.| 114 1|令 f() 0，得 11， 23，对于特征值 11，解相应的线性方程组Error!得一个非零解 Error!，因此 1 是矩阵 A的属于特征 值 11 的一个特征向量12对于特征值 23，解相应的线性方程组Error!得一个非零解 Error!，因此 2 是矩阵 A的属于特征 值 23 的一个特征向量矩阵 A的1 2特征值为 11， 23，属于特征值 11， 23 的特征向量分别为 ， .12 1 26已知矩阵 A
5、，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 1 ，33cd 11属于特征值 1 的一个特征向量 2 ，求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵3 2【解】由矩阵 A属于特征值 6 的一个特征向量 1 ，可知 611 33cd11，所以 c d6， 11由矩阵 A属于特征值 1 的一个特征向量 2 ，3 2可知 ，所以 3c2d2. 33cd 3 2 3 2联立可得Error!解得Error!即 A ，A的逆矩阵 A1 .3324 23 12 13127已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90.(1)求矩阵 A
6、及 A 的逆矩阵 B；(2)已知矩阵 M ，求 M 的特征值和特征向量；3324(3)若 在矩阵 B 的作用下变换为 ，求 M50.(结果用指数式表示)81【解】(1)A ；01 101002 02 10BA 1 .0 1120(2)设 M的特征值为 ，则由条件得 0，| 3 3 2 4|即(3)(4) 6 2760.解得 11， 26.当 11 时，由 ，3324xy xy得 M属于 1 的特征向量为 1 ；3 2当 26 时，由 6 ，3324xy xy得 M属于 6 的特征向量为 2 .11(3)由 B，得 ，0 112081 14设 m 1n 2m n 14 3 2 11 ，3m n
7、2m n则由Error!解得Error!所以 12 2.所以 M50M 50( 12 2)M 5012M 502 2 6503 2 11 .2650 32650 28已知二阶矩阵 M 的一个特征值 8 及与其对应的一个特征向量 1，并且矩阵 M 对应的变换将点(1,2)变换成( 2,4)11(1)求矩阵 M；(2)求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 2 的坐标之间的关系；(3)求直线 l： xy10 在矩阵 M 的作用下的直线 l的方程【解】(1)设 矩阵 M ，abcd则 8 ，故 Error!abcd11 11 88由题意得 ，abcd 12 24故Error!联立以上两
8、方程组可解得Error!故 M .6244(2)由(1)知矩阵 M的特征多 项式 f() (6)(4)| 6 2 4 4|8 21016.令 f() 0，解得矩 阵 M的另一个特征值 2.设矩阵 M的属于特征值 2 的一个特征向量 2 ，则 M2 2 ，解得 2xy0.xy 6x 2y4x 4y xy(3)设点(x， y)是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M的作用下对应的点的坐标为(x ，y) ，则 ，即Error!代入直线 l 的方程并化简得6244xy xy xy20，即直线 l的方程为 xy 20.9给定矩阵 M ，N 及向量 1 ， 2 .23 13 1323 2112 11 1 1(
9、1)求证 M 和 N 互为逆矩阵；(2)求证 1 和 2 都是矩阵 M 的特征向量【证明】(1)因为 MN ，NM 23 13 13232112 1001 211223 13 1323，所以 M和 N互为逆矩 阵1001(2)向量 1 在矩阵 M的作用下，其象与其共线，11即 ，向量 2 在矩阵 M的作用下，其象与其共23 13 132311 1313 1311 1 1线，即 ，所以 1 和 2 都是 M的特征向量23 13 1323 1 1 1 110给定矩阵 M 及向量 .2561 29(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 1， 2；(2)确定实数 a，b，使向量 可以表示为 a
10、 1b 2；(3)利用(2)中的表达式计算 M3，M n；(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？【解】(1)矩 阵 M的特征多项式 f() (2)(1)| 2 5 6 1|30( 7)( 4) 令 f()0，解得矩 阵 M的特征值 14， 27.易求得属于特征值 14 的一个特征向量 1 ，属于特征值 27 的一个特征向 56量 2 .11(2)由(1)可知 a b ，解得 a1，b3，所以 13 2. 29 56 11(3)M3M 3(13 2)M 313M 32(4) 3 37 3 56 11 .435 373 436 373MnM n(13 2)M n13M n2(4) n 37 n 56 11 . 1n 14n5 37n 4n6 37n (4)在 Mn的 结果中，随着 n 的增加，特征向量 1对结果的影响越来越小
