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1、3.43.4基本不等式基本不等式: :20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 在北京举行在北京举行20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 在北京举行在北京举行会标的设计源中国 古代数学家赵爽赵爽为了证 明发明于中国周代的勾 股定理而绘制的弦图。 它既标志着中国古代的 数学成就，又象一只转 动的风车，欢迎来自世 界各地的数学精英们。思考：这会标中含有怎 样的几何图形？思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角 形，它们的面积和是S=问1：在正方形ABCD中,设AE=a,
2、BE=b,则正方形的面积 为S=，问3：S与S有什么样的关系？ 从图形中易得，s s,即ADBC EFGHa b问题1：s, S有相等的情况吗？ 何时相等？图片说明：当直角三角形 变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH缩为一个点 ，这时有 u形的角度u数的角度当a=b时 a2+b22ab =(ab)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立问题2：当 a,b为任意实数时， 成立吗？算术平均数几何平均数概念： 若： ，则有基本不等式下面证明不等式：证明：当且仅当 时等号成立。所以有ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释因为RtACDRtDCBCD
3、2 = AC BCCD=即基本不等式：常用的不等式 ： 重要不等式：基本不等式的变形：运用基本不等式就最值问题v1、已知 ,当 取什么值时， 的值最小？ 最小值是多少？解：因为由基本不等式可得：当且仅当 时，即 时等号成立当 时， 有最小值2。基本不等式 ：2、已知一直角三角形的两直角边的和为20， 当两直角边各为多少时，该直角三角形的面积 最大，最大值是多少？解：设该直角三角形的两直角边分别为 和且根据基本不等式有：当且仅当 时等号成立所以当两直角边都为10时，三角形面积最大为50。基本不等式：应用基本不等式求最值的条件 ：a与b为正实数若等号成立 ，a与b必须 能够相等一正二定三相等积定和
4、最小和定积最大（ a0，b0）1、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什 么值时，它们的和最小？2、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什 么值时，它们的积最大？1、解：设两个正数为 和 ，则 ，且 当且仅当 时取等号当这两个正数均为6时，他们的和最小。2、解：设这两个正数为 和 ，则 ，且当且仅当 时取等号当这两个正数均为9时，它们的积最大。 1. 两个不等式 （1）（2） 当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
