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1、 复习回顾口答：口答：问题：630可以被哪些整数整除？解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对630630进进 行分解质因数行分解质因数630 = 23257类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题新课引入试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积)回忆前面整式的乘法上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 ，也叫做把这个多项 式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是逆变形依照定义，判断下列变形
2、是不是 因式分解（把多项式化成几个整式的积）m ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面两个式子中哪个是因式分解？在式子ma + mb + mc中，m是这个多项 式中每一个项都含有的因式，叫做 。公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )ma + mb + mc = m ( a + b + c )在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。这种方法叫做提公因式法。提公因式法一般步骤：1、找到该多项式的公因式，2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，3、把它与公因式
3、相乘。如何准确地找到多项 式的公因式呢？1、系数所有项的系数的最大公因数2、字母应提取每一项都有的字母，且字母的指数取最低的3、系数与字母相乘例题精讲最大公因数为3= 3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a5bc)= 4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=第 3 课时第 2 课时复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式 ：计算计算 ：= (999+1)(9991)= (999+1)(9991)此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ?新课引入试计算：试计算：9999992 2 1 1 12= 1000998 =
4、998000= 1000998 = 998000平方差公式逆用因式分解因式分解: :（1 1）x x2 2 ; ;（2 2）y y2 2 4 254 2522 52 = (= (x x+2)(+2)(x x2)2)= (= (y y+5)(+5)(y y5)5)这些计算过程中都这些计算过程中都逆用了平方差公式了平方差公式即：即：此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：用文字表述为：两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。尝试练习(对下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100x2 9y2 =_(a+
5、3)(a3) (7+n)(7n) 5(s+2t)(s2t) (10x+3y)(10x 3y)= = y2 4x2 = ( = (y y+2+2x x)( )(y y22x x) )= = (x2)2 12= (= (x x2 2+1) (+1) (x x2 21)1) 4 4x x2 2+ + y y2 2 x x4 4 1 1(x21)= = ( 4x2 y2 ) = (2 = (2x x+ +y y)(2)(2x x y y) )(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底 ! x x2 2 x x6 6= = x2 (x3)2= ( = (x x+ +x x3 3)( )(x x x x3
6、3) )= = x (1+(1+x x2 2) ) x (1(1x x2 2) )= = x x2 2(1+(1+x x2 2) )(1+x)(1x) x x2 2 x x6 6= = x2 (1 (1x x4 4) )= = x x2 2(1+x2)(1x2)= = x x2 2(1+ (1+x x2 2) )(1+x)(1x)在我们现学过的因式分解方法中， 先考虑提取公因式，再考虑用公式法。 6 6x x3 3 54 54xyxy2 2= = 6x ( (x x2 299y y2 2) )= 6 = 6x x (x+3y)(x3y) ( (x x+ +p p) )2 2 ( (x x q
7、q) )2 2= ( = (x x+ +p p)+()+(x x q q) ) ( (x x+ +p p)()(x x q q) ) = (2 = (2x x+ +p p q q)( )(p p+ +q q) )YXYXYX复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？计算计算 ：新课引入试计算：试计算：9999992 2+ 1998 + 1 + 1998 + 129991 = (999+1)2 = 106此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ? 完全平方公式逆用就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。即：这个公式可以用文字表述为
8、：这个公式可以用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去 ）这两个数的积的两倍，等于这两 个数的和（或差）的平方。牛刀小试(对下列各式因式分解)： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2 (n5)2 4(t1)2 (2x3y)2完全平方式的特点：1、必须是三项式（或可以看成三项的）2、有两个同号的平方项3、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 1616x x2 2+ 24 + 24x x + 9 + 9 4 4x x2 2+ 4 + 4xyxy y y2 2 4 4x x2 2
9、 8 8xyxy + 4 + 4y y2 2= (4x+3)2= (4x24xy+y2) = (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2 2 2a a2 2+ + ( (p p+ +q q) )2 2 12( 12(p p+ +q q) + 36) + 36a a4 41 1= (a21)2= (a+1)2 (a1)2= (a+1) (a1)2= (p+q6)2XXX知识结构因式分解 常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法一、提公因式法只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起
10、来用。提公因式法随堂练习：1 1）15(15(mm n n)+13()+13(n n mm) )2 2）4(4(x x+ +y y)+4()+4(x x33y y) )二、公式法只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公 式，可以逆用进行因式分解。常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2
11、) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导这是公式这是公式x x2 2+ +y y2 2+ +z z2 2+ +xyxy+ +xzxz+ +yzyz的推导过程的推导过程不要与不要与( (x x+ +y y+ +z z) )2 2= =x x2 2+ +y y2 2+ +z z2 2+ +2xyxy+ +2xzxz+ +2yzyz混淆混淆公式法随堂练习：1 1）( (a a2 21010a a+25)(+25)(a a2 225)25)2 2）x
12、x3 3+3+3x x2 2+ +3 3x x+1+1二、公式法只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。三、十字相乘法前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项可以看出常数项 3 = 3 = 1 3而一次项系数而一次项系数 4 = 4 = 1 + + 3原式原式=(=(x x+1)( )(x x+3) )暂且称为暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x27
13、x+10可以看出常数项可以看出常数项10 = 10 = (2)(5)而一次项系数而一次项系数 7 = 7 = (2) + (5)原式原式=(=(x x2)( )(x x5) )这个公式简单的说，这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法随堂练习：1 1）a a2 266a a+5 2+5 2）a a2 255a a+6+63 3）x x2 2(2(2mm+1)+1)x x+ +mm2 2+ +mm22三、十字相乘法试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到这里就要用到十字相乘法（适用于二
14、次三项式） 。既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成( (axax+ +b b)( )(cxcx+ +d d) )的形式的形式 。( (axax+ +b b)( )(cxcx+ +d d)=)=acx x2 2+ +(ad+bc)x x+ +bd所所以，需要将以，需要将二次项系数与与常数项分别拆成分别拆成 两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式 分解就成功了。分解就成功了。= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124 + 3 = 76 6x x2 2+7+7x x+2=(+2=(2x x+ +1)( )(3x x+ +2) )13522 + 15= 1113255 + 63 3x x2 2+11+11x x+10+10 =(=(x x+ +2)( )(3x x+ +5) )= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用这里仍然可以用十字相乘法。15244 10 5 5x x2 266xyxy88y y2 2 =(=(x x2y y)( )(5x x+ +4y y) )简记口诀：首尾分解
