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1、四川省天全中学 刘锐l求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法 、图像法（数形结合法）、函数的单调 性法以及均值不等式法等。这些方法分 别具有极强的针对性，每一种方法又不 是万能的。要顺利解答求函数值域的问 题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据 特点选择求值域的方法，下面就常见问 题进行总结。例1 求函数如图， y-3/4,3/2.分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题 ，可用配方法或图像法求解。oxy-113/2-3/41/2例2 求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(
2、2y-1)x+(3y1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故 1/2. 当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2- 4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。原函数的值域为y3/10,12）例3 求函数 的反函数的定义域.分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解。解：变形可得反函数的定义域为(-1,1)。例4 求下列函数的值域：(1) y=6x2-2x3, (00,故y=log1/2u 的定义域为（0
3、，2上的减函数，即原函数值域的 为y -1,+)。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2） 可用单调有界性解之。解法1：不难看出y0,且可得定义域为3x5,原函 数变形为：例7 求下列函数的值域：（1 1）y=x-3+5-x; (2)y=x-3-5-y=x-3+5-x; (2)y=x-3-5- x.x.由x3,5知，-x2+8x-15 0,1,即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时，ymin=2,故原函数的值域为2，2。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2(x-3)(5-x),再平方整理得 4x2-32x+y4-4y
4、2+64=0且y2-20,y看成常数,方程有实 根的条件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) 0,注 意到y0得y2-40即0y4而y2-20即有 2y2, y2,2.(2)解：由y=x-3-5-x得定义定义域为 x3,5.y=x-3在3，5上是单调增函数，y=-5-x在3,5上也是单调增函数。 y=x-3-5-x在3，5上是增函数 ，当x=3时，ymin=-2,当x=5时， ymax=2,故原函数的值域为y-2, 2.例8 已知圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一点P（ x,y),求 的最大值与最小值。分析： 即求圆上的点P(x,y)到原点 (0,0)的斜率的最值，
5、可利用数形结合法求解。xyoPC解：圆C方程为 (x-2)2+y2=3 ， 的最 值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。设y=kx,如图，显然，当直线y=kx与圆C 相切时k有最值，容易得出其最大与最小 值分别为3，-3.例9 已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值 。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三 角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件 下，求x+y+4的线性规划。 解法1：条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2把此圆化为参数方程(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1解法2（线性规划）x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，
6、设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线 L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x 并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时 ，z-4有最大值和最小值。(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x例10 求函数 的值域。分析：利用三角函数的有界性较数形结合为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单 。解：将原函数化为sinx+ycosx=2y例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。 分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合 法解之。A1(1,-3)yA(1,3) B(- 3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与 A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x 轴上求作一点P与两定点A,B的距离 之和的最值，利用解析几何的方法 可求其最小值。如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求， 可证明解：函数变形为y=(x-1)2+(0-3)2+(x+3)2+(0-2)2.所以原函数值域的为y41,+).
