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1、四川省天全中学 刘锐l求函数值域方法很多,常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法 、图像法(数形结合法)、函数的单调 性法以及均值不等式法等。这些方法分 别具有极强的针对性,每一种方法又不 是万能的。要顺利解答求函数值域的问 题,必须熟练掌握各种技能技巧,根据 特点选择求值域的方法,下面就常见问 题进行总结。例1 求函数如图, y-3/4,3/2.分析:本题是求二次函数在区间上的值域问题 ,可用配方法或图像法求解。oxy-113/2-3/41/2例2 求函数分析:函数是分式函数且都含有二次项,可用判 别式和单调性法求解。解法1:由函数知定义域为R,则变形可得: (2y-1)x2-(
2、2y-1)x+(3y1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时,代入方程左边1/23-10,故 1/2. 当2y-10,即y 1/2时,因xR,必有=(2y-1)2- 4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,综上所得,原函数的值域为y3/10,1/2.解法2:(函数的单调性法)是增函数,u取最小值时,y也取最小值。原函数的值域为y3/10,12)例3 求函数 的反函数的定义域.分析:函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域,可用不等式法求解。解:变形可得反函数的定义域为(-1,1)。例4 求下列函数的值域:(1) y=6x2-2x3, (00,故y=log1/2u 的定义域为(0
3、,2上的减函数,即原函数值域的 为y -1,+)。分析:本题求值域看似简单,其实有其技巧性,变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;(2) 可用单调有界性解之。解法1:不难看出y0,且可得定义域为3x5,原函 数变形为:例7 求下列函数的值域:(1 1)y=x-3+5-x; (2)y=x-3-5-y=x-3+5-x; (2)y=x-3-5- x.x.由x3,5知,-x2+8x-15 0,1,即当x=4时,ymax=2,当x=3或5时,ymin=2,故原函数的值域为2,2。解法2:(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2(x-3)(5-x),再平方整理得 4x2-32x+y4-4y
4、2+64=0且y2-20,y看成常数,方程有实 根的条件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) 0,注 意到y0得y2-40即0y4而y2-20即有 2y2, y2,2.(2)解:由y=x-3-5-x得定义定义域为 x3,5.y=x-3在3,5上是单调增函数,y=-5-x在3,5上也是单调增函数。 y=x-3-5-x在3,5上是增函数 ,当x=3时,ymin=-2,当x=5时, ymax=2,故原函数的值域为y-2, 2.例8 已知圆C:x2-4x+y2+1=0上任意一点P( x,y),求 的最大值与最小值。分析: 即求圆上的点P(x,y)到原点 (0,0)的斜率的最值,
5、可利用数形结合法求解。xyoPC解:圆C方程为 (x-2)2+y2=3 , 的最 值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。设y=kx,如图,显然,当直线y=kx与圆C 相切时k有最值,容易得出其最大与最小 值分别为3,-3.例9 已知圆C:x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值 。分析:本题可转化采用圆的参数方程表达,利用三 角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件 下,求x+y+4的线性规划。 解法1:条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2把此圆化为参数方程(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1解法2(线性规划)x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点,
6、设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线 L:x+y+4-z=0在y轴上的截距,作直线y=-x 并平移,当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时 ,z-4有最大值和最小值。(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x例10 求函数 的值域。分析:利用三角函数的有界性较数形结合为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单 。解:将原函数化为sinx+ycosx=2y例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。 分析:本题求函数的值域可用解析几何与数形结合 法解之。A1(1,-3)yA(1,3) B(- 3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与 A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x 轴上求作一点P与两定点A,B的距离 之和的最值,利用解析几何的方法 可求其最小值。如图,可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求, 可证明解:函数变形为y=(x-1)2+(0-3)2+(x+3)2+(0-2)2.所以原函数值域的为y41,+).