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1、相似原理玻璃熔窑模型实验概论分析孙胜杰摘要 ： 模型试验是科研工作者和工程技术人员工程实践中一种重要的试验技术。相似原理是联系模型试验中原型结构与模型结构的桥梁。结构模型是一个结构或一部分结构的任何物理模拟。最通常的情况是模型将按缩小的比例制造。模型制造过程中会将某种物理现象的量，比如长度、时间、力、速度等缩小或扩大来进行试验。通过相似原理，科研工作者和工程技术人员可以将模型试验结果反推到原型结构的结果，从而为工程实践服务。本文基于相似理论对玻璃熔窑模型实验进行分析。关键字模型试验，相似原理，量纲分析，定理，因次分析1 相似原理1.1 相似的概念相似原理是关于现象相似的学说，它为实现原型与模型
2、之间的相似提供了理论依据和可能，是模型实验的基础。相似的概念，最初出现在几何学中。众所周知，几何学中的相似图形，例如，图3-1 中的两个梯形，是指形状相同，但对应尺寸各异的图形。图 3-1 相似梯形这两个相似的梯形，具有这样的性质: 各对应线段 ( 边、底、垂线 ) 互成比例，各对应角彼此相等。相似图形的这种性质，称为“相似性质”。两个相似的空间图形，也具有同样的相似性质: 各对应线段互成比例，各对应角彼此相等。反言之，两个几何图形相似的充分必要条件是: 各边的比例系数相同，和各对应角相等。这种条件称为几何上的“相似条件”，即满足这个条件后，两个几何图形一定相似。上面所说的“相似性质”，是指彼
3、此相似的图形，具有什么样的性质; 而“相似条件”则是指满足什么条件后，图形才能彼此相似。上述几何相似的概念，亦可以推广到任一物理现象中。例如，我们可以说时间相似、运动相似、热相似、力相似等等。时间相似 : 指发生在两种现象中的对应的时间间隔互成比例。运动相似 : 指发生在两种现象中的速度场( 及加速度场 ) 的几何相似。即，在两个流动场中，各几何相对应的点，各对应时刻上的速度( 及加速度 ) 的方向一致，而速度( 及加速度 )的大小互成比例。热相似 : 指发生在两种热现象中的温度、热流、热容量、传热系数等在各几何对应的点、各对应时刻上的热流方向一致，而温度、传热量、热容量、传热系数等的大小互成
4、比例。还有诸如力的相似、压力相似、浓度相似等等。概而言之，现象的相似，是指表述该现象的所有量，在空间中相对应的各点及在时间上相对应的各瞬间各自互成一定比例关系。玻璃熔窑内所发生的各种现象，如玻璃液的流动，热量的传递等， 都伴随着许多物理量( 速度、压力、温度、粘度、密度、膨胀系数、导热系数等) 的变化。因此，对于玻璃熔窑发生的现象的相以，即指上述诸物理量，在空间中相对应的各点、在时间 t 相对应的各瞬间互成比例。 显然，玻璃熔窑原型与模型之间的现象相似。要比几何图形的相似复杂得多，其 “相似性质”及“相似条件”也就复杂得多。“相似性质”及“相似条件”是指导模型实验的线索和基础。后面将对实现玻璃
5、熔窑原型与模型相似的“相似性质”和“相似条件”作简明而实用的讨论。1.2 相似定理规定现象相似的定理有三，即相似第一定理，相似第二定理和相似第三定理。相似三定理构成了相似原理的能本内容。在进行玻璃熔窑模型实验过程中，布置实验时，首要的目标不外乎是: 把模型实验的结果推厂应用到玻璃熔窑原型。然而， 要把在模型中得到的结论推广到原型中，只有在二者之中所发生的现象相似才有可能。因此，在布置实验时，必须首先知道: （1）在实验中，要测定哪些量; （2）如何整理实验数据; （3）怎样才能使模型内的现象与所研究的熔窑原型内的现象相似。相似三定理对上述三个问题给予了回答。（1）单值性条件玻璃熔窑内所发生的流
6、体力学现象和热现象，可用一微分方程组来描述，但发生在其它过程的现象，例如，开式渠道中流体的传热，亦可用同一方程组来描述。因而，还必须有把这种发生在不同过程中的现象和发生在不同熔窑中的现象区分开来的手段，这就是单值性条件。单值性条件由下列各项组成: 1)几何条件。参与过程的设备的形状和大小，例如，熔窑的长度、宽度、高度和截面尺寸等 ; 2)物理条件。参与过程的物体或介质的物理性质，例如，玻璃液的粘度、密度、膨胀系数、导热系数等; 3)边界条件。参与过程的物体或介质在边界上过程进行的特点。例如，投料温度，窑墙、底、眩处的温度等; 4)起始条件。参与过程的物体或介质在时间上过程进行的特点，即流速、温
7、度、物理性质等，于开始时刻的数值，对于稳定过程，不存在起始条件。（2）相似第一定理相似第一定理亦称相似正定理，其表述如下: 彼此相似的现象，必定具有相同的相似准则。相似第一定理，给出了相似现象的相似性质，总结相似第一定理的推导，可以看出，对于彼此相似的现象，具有如下的“相似性质”: 1)现象的相似，不仅要现象的性质相同，而且要能够用同样形式和同样内容的方程式( 组) 来描述。如这种描述，只是在形式上相同，而物理内容不同，那么，这类现象，只能叫做“类似”，而不能叫做“相似”。例如，在导热现象与扩散现象之间，就只是“类似”，而不是“相似”。2)现象的相似，其先决条件是几何相似。3)现象的相似，其在
8、空间上相对应的各点、时间上相对应的各瞬间，用以表征这些现象的一切物理量必定互成比例。如第一个现象的量用中表示， 第二个现象的量用 表示，则C 比例系数C，即为前面提到的量“”的相似倍数，其值与坐标及时间无关。（3）相似第二定理相似第二定理又称“相似定理”。它规定，描述某现象各种量之间的关系，可以表示成相似准则21，.n之间的函数关系。这种关系式称为“准则方程式”或“准则关系式”。根据相似第一定理，对于彼此相似的现象，其相似准则在数值上相同，所以它们的准则方程式也必然相同。因而， 如果把模型实验的结果整理成相似准则，进而整理成准则方程式时，这种准则方程式就可以推广到所有与之相似的原型中去。这样，
9、 在无法用分析法求解描述现象的微分方程组时，就可以用实验方法得到方程组在某些条件下的特解。特解的形式就是从实验结果整理成的准则方程式。相似准则又可分为两类: 定性准则和非定性准则。定性准则，是由定性量或包含在单值性条件中的量所组成的准则; 非定性准则，是包含有被决定量所组成的准则。定性准则是决定现象的准则， 定性准则确定以后，现象以及非定性准则即随之而被确定。因而， 准则方程式又可以表示成任一非定性准则与定性准则之间的函数关系。（4）相似第三定理相似第三定理又称“相似逆定理”。它规定: 凡同一种类的现象，单值性条件相似，且由单值性条件中的物理一量所组成的定性准则在数值上相等，则必定相似。相似第
10、三定理给出了现象相似的充分必要条件，是研究“相似条件”的定理。至此，上述三条相似定理，对前面所提的三个问题作出了回答。相似第一定理回答了“在实验中，要测定哪些量”的问题，即在实验中，必须测量出各相似准则中所包含的一切量; 相似第二定理回答了“如何整理实验数据”的问题，即必须把实验结果整理成相似准则，并进而整理成准则关系式; 相似第三定理回答了“怎样才能使模型内的现象与所研究的熔窑原型内的现象相似”的问题， 即单值性条件相似、定型准则数值相等的那些现象必定相似。1.3 相似准则的导出迸行玻璃熔窑模型实验研究，其最重要和最基本的方面，就是要确定模型实验的相似准则。相似准则的导出，有两种方法: 方程
11、分析法和因次分析法。（1）方程分析法方程分析法是利用描述现象的基本微分方程组和单值性条件来导出相似准则的方法。方程分析法提供不求解微分方程组，而在模型上给出现象的解答的可能性。我们知道， 任何正确的物理方程都是因次和谐的，即方程中每项的因次相同。物理方程的因次和谐是方程分析的基础。方程分析法又可分为两类: 相似转换法与积分类比法，下面叙述之。1）相似转换法相似转换法导出相似准则的步骤是: 写出现象的基本微分方程组和单值性条件，写出相似倍数表达式; 将相似倍数表达式代入方程组进行相似转换，进而得出相似指标式; 将相似倍数表达式代入相似指标式，得出相似准则; 用与、同样的方法。从单值性条件中，获得
12、相似准则。2)积分类比法积分类比法的原理如下: 第一，根据相似性质，彼此相似的现象，必定为相同的方程所描述，所以其对应方程中，各对应项的比值必定相等，且上述比值为无因次量; 第二，物理量的任意阶导数，可用相应的积分形式，即所谓积分类比来代替。某物理量，例如，u和 u分别属于两个相似体系，则u uCu由于相似倍数C 。为常数，而常数的极限仍等于该常数，所以uCdudu uulim这可理解为两个物理量( 微分的积分形式) 相似，则它们对应的微分量也相似，所以它们的微分形式可用积分类比( 形式 ) 来代替。同理，对于高阶微分量也成立。根据上述原理，用积分类比法导出相似准则的步骤如下: 写出现象的微分
13、方程组及单值性条件; 将方程式中所有物理量的各阶导数都用它们的积分类比式来代替，即去掉微分符号。用积分类比式代替时，各坐标分量用总量代替，坐标用定性尺寸代替。方程式中的运算符号(= 、+、-) 都用比例符号 () 代替，得到比例关系式，如关系式中有儿个相同的比例式，只取一个即可; 用任一比例式除同一方程中的其它比例式，得出相似准则。(2) 因次分析法前面叙述的方程分析法，是在已知描述现象的微分方程组时，导出相似准则的方法。当无法列出描述现象的微分方程时，就只能采用因次分析法。物理量的测量单位的种类，叫作“因次”或“量纲”。任何物理量，可以有不同的测量单位，但这些单位皆属于同一种类，具有相同的“
14、因次”或“量纲”。例如，质量的测量单位可以是吨、公斤、克、毫克等，但它们皆属于同一种类，即皆为质量的单位。将属于同一类的单位，例如，上述的质量的单位用符号M表示，则M就是质量单位的因次。因次只涉及物理性质。而单位除涉及物理性质外，还涉及大小问题。 物理量可以分为 “基本量” 与“导出量” 两类。“基本量” 的单位称为 “基本单位” ，“导出量” 的单位称为 “导出单位”。“导出单位”可根据量与量之间的关系，由“基本单位”来表示。“基本单位”的因次，称为“基本因次”。在国际单位制中，取长度、质量、时间、热力学温度、发光强度等作为“基本量”，它们相应的基本因次为（L）、（ M ）、（ t ）、（
15、T）、（ E）、（ C）。因次分析法导出相似准则的基本点，是在于利用“相似准则的因次为零”这个性质。试仍以粘性不可压缩流体的稳定等温流动为例，说明因次分析法的应用。描述不可压缩流体稳定等温流动的物理量有: 流速，通道尺寸l ，压力 P ，密度，粘度以及重力加速度g。根据相似第二定理， 此现象可表示为相似准则的函数关系。因次相似准则由上述物理量。、l 、P、g组成，故可表示为它们的幂次的乘积，故可表示为它们的幂次的乘积，即fedcba igpl式中 :a, b, c, d, e, f为常数不同的相似准则，常数值a, b,c,d, e, f不同，但对一特定的相似准则，其值固定。2113211 iL
16、ttMLMLtMLLLtdcba对于 (L) 有: a+b-c-3d-e-f=0 对于 (M)有: c+d+e=0 对于 (t) 有: -a-2c-e-2f=0 方程组中有六个未知数a, b, c, d, e, f但只有三个独立的方程，可令其中三个未知数为不同数值，即可获得不同的解，但根据线性代数原理，独立的解只有三个。令 c=0, e=0, f=1，代入得a=-2, b=1, d=0，于是得Fr21gl令 c = 1, e=0, f=0，得 a=-2, b=0, d=-1，于是得EuP22令 c=0, e=-1, f = 0，得 a = 1, b=1, d=1，于是得Rel3所得结果完全前述方程分析法相同。2 结论相似原理与量纲分析方法解决了模型试验中的一系列问题。要进行模型试验，首先遇到如何设计模型，如何选择模型流动中的介质，才能保证与原型（实物）流动相似。根据相似第二定理，设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由单值条件中的物理量组成的相似准则在数值上相等。试验过程中需要测定哪些物
