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1、分散投资与投资组合选择非系统市场风险的控制徐成贤西安交通大学1. 两类风险系统风险：外在不确定性导致的风险，如宏观经济走势,市场资金供求,政治局势等.系统风险不可能通过投资分散化消除. 非系统风险：内在不确定性产生的风险,如企业的管理能力,投资决策,生产规模，信誉等级,非系统风险可通过分散投资来化解组合投资化解非系统风险投资者可以用衍生产品的同其持有资 产的头寸方向相反的头寸，利用后者 的风险暴露与前者的风险暴露相反的 特点，来冲抵其持有资产头寸的风险 ，达到控制风险的目的.投资者通过分散投资, 利用在某些资 产投资的收益以抵消在某些资产投资 的损失,从而达到控制风险的目的.套期保值化解系统风
2、险2. 投资组合选择问题在金融市场众多可供投资的风险或 无风险资产中(股票, 债券, 投资基金 , 权益产品, 银行存款等), 选择适当 数量的资产, 进行合理的分散投资, 以便减小投资的风险, 确保投资的收 益.投资组合选择的过程(1). 确定有效的候选资产; (2). 确定对不同类型资产的投资比 例; (3). 确定有效的投资组合, 即对不同资产的投资比例.3. 投资组合选择涉及的数学与计算(1). 资产与投资组合收益和风险的定义和计算收益: 均值或用模拟进行估计 风险: 有不同的定义和相应的计算方法方差, 绝对偏差, 下半方差, 最大偏差, 凸性, 久期, 风险价值, 条件风险价值(2)
3、 有效的候选资产的选取(以均值 方差 为例)风险收 益资产A资产B资产C三个资产的比较风险收 益资产A资产B风险收 益资产A资产B两资产收益和风险分布哪个资产适于投资?用于从众多的风险资产中确定有效的风 险资产, 以便进行投资组合的选择.根据随机占优准则, 对风险资产进行比较, 确定次序, 筛选有效资产.随机占优选择效用函数反映人们对一项投资或一次活动满意程 度的函数, 对于投资来说它也反映人们 对风险厌恶的程度.单调增一阶连续可微且有界的效用函数, 例如:具有这一类型效用函数的投资者对风险的态度 是不确定的,也就是说具有这种效用函数的投资 者可以是厌恶风险的,也可以是喜欢冒险的, 以 为效用
4、函数的投资者是厌恶风险的,以 为效用函数的投资者是喜欢冒风险的 .单调增凹的效用函数 拥有 为效用函数的投资者都是风险 厌恶的.三阶效用函数拥有这类效用函数的投资者对风险的 厌恶程度随着资产价值的增加而减少.几个效用函数的例(1) 线性函数, 风险中性的效用函数;(2) 二次函数, 风险厌恶的效用函数;(3) 指数函数, 风险厌恶的效用函数; (4) 对数函数风险厌恶的 效用函数; (5) 冪函数风险厌恶的效用函数;期望效用: 设u为某一投资者的效用函数, 则其对某一项投资,设为A的收益效用的期 望值称为期望效用,记为考虑两个资产A和B的收益分布, 资产A: 1 1 4 4 4 4资产B: 0
5、 2 3 3 4 4 获取每一个收益的概率都是1/6, 设甲的效用函数为则有设乙的效用函数为对于所有都有一阶随机占优性(FSD) 考虑两个风险资产A和B, 如果对于所有的 ,成立 则称资产A一阶随机优于资产B. 二阶随机占优性(SSD) 考虑两个风险资产A和B, 如果对于所的 , 成立则称资产A二阶随机优于资产B.三阶随机占优(TSD) 考虑两个风险资产A和B, 如果对于所有的 ,成立则称资产A三阶随机优于资产B. (3) 确定对不同类型资产的投资比例对权益资产和债券类资产的投资比例 权益资产: 股票, 证券,资产等收益率高,风险也高 债券: 国债,政府或企业债券, 付息或零息债券等. 风险相
6、对要低,但收益率也要低 于权益资产的收益率.对不同行业资产的投资比例 尽量减少投资资产收益分布间的相 关性,(4) 确定投资组合选择模型和求解方 法根据投资目标，投资要求，所用风险度量的 不同，形成不同的投资组合选择模型，有连续模型，离散或组合模型，有连续离散 相混合的模型，有单阶段的模型，有多阶段的模型，有中小规模的模型，有大规模的模型，需要采用和设计不同的求解方法4. 最优投资组合选择的一般模形inimize: 投资组合风险 Subject to: 投资组合的收益(=)设定的目标 ，其它对投资组合的限制，模型：模型 ：Maximize: 投资组合的收益，Subject to: 投资组合的风
7、险(=)可承 受的风险水平，对投资组合的其它限制模型：Subject to: 对投资组合的限制Maximize:投资组合的收益 - 投资 组合的风险,表示投资者对风险的容忍程 度， 越大，说明投资者越注重收益， 而对风险不太在意，亦即投资者越能 容忍风险 对投资组合的可能限制 ：投资(Budget)总量的限制,有无非负的限制(是否允许卖空,Short sell),对n种资产的 投资比例表示不允许卖空对行业的投资限制.第j个行业可投资的资 产集合.限制资产数目的投资组合选择模型允许投资的资产数目k : 表示允许投资资产的总数0, 1变量, 取0表示对资产 i 不投资, 取1表示对资产 i 投资.
8、对各资产投资量的限制对资产 i 投资的下限和上限5.基于均值方差(MV)最优投资组合选择模型Markowitz(1952) 以均值为收益，方差为风险, 假定有n种风险资产可供投资 投资权重向量 期望收益率向量各资产收益分布 间的方差协 方差矩阵投资组合的期望收益投资组合的风险在给定收益目标的要求下，确定使投资风险最小的投资方案 给定的投资收益目标在投资者给定的可承受的投资风险水平下 ，确定使收益最大的投资组合方案 投资者可承受的风险水平风险容忍模型 有效的投资组合: 对给定的上述模型所确 定的最优解称为有效的投资组合, 记为对这一投资组合计算其相应的收益和风险, 分别记为对投资组合 计算其相应
9、的收益和风险, 分别记为 则他们是风险收 益座标空间中的一个点.投资组合的有效边缘对 在风险收益 座标空间中形成一条曲线, 这一条曲线称 为投资组合的有效边缘风险收 益可行的投资区域有效边缘 ABCD投资组合的有效边缘理性投资者总会 选择有效边缘上 的某个投资组合 进行投资.投资组合的有效边缘 8 个新加坡上市股票从2002年6月至2004年6月 每周的收市价计算得到.8 个新加坡上市股票从2002年6月至2004年6月 每周的收市价计算得到.不允许卖空时的投资组合的有效边缘这是一个混合的0-1二次规划问题. 可用启发式方求解.限制资产数目的投资组合选择模型存在无风险资产时最优投资组合选择的模
10、型 收益确定,但不存在任何风险的可投 资资产, 只考虑一种无风险资产.投资组合的期望收益无风险资产的收益率 对无风险资产的投资比重，同样要求投资组合风险的表达式不变,只同风险资 产有关.(1) 绝对偏差模型(MAD) 投资组合的风险Konno, Yamazaki, 19916. 其它风险度量的投资选择模型投资组合选择模型(给定收益目标使风险最小 ) 设每个资产有T个周期的收益,用 表示资产 i 的第 t 个收益的偏差. 则上述模型可改写为这是一个维数为(n+T)的线性规划问题,可以根据 问题的规模用单纯形方法或内点算法求其最优解.这是一个非光滑的最优化问题,通过引入松弛变 量,可以将其转化成下
11、列光滑的最优化问题求解.允许卖空时MAD模型投资组合的有效边缘 国内13只股票 1998.12至2002.3 每周的收盘价， 每只股票共有 160个价格数据 存在无风险资产允许卖空时投资组合的有效边缘 黄线为有效边缘国内13只股票 1998.12至2002.3 每周的收盘价， 每只股票共有 160个价格数据 (2) 用下半方差的均值来表示风险光滑后的投资组合选择模型为投资组合的风险(3) 用最大偏差量化风险投资组合的风险投资组合选择模型这是一个非光滑的最优化问题, 可以转化为光滑 的线性规划,用单纯形方法或内点法求解.光滑后的线性规划模型可用单纯形方法或内点法求解.(4) 风险价值投资组合M-
12、VaR选择模型正态分布下投资组合的风险投资组合选择模型对于给定的一个置信水平 上述模形可以确定一条投资组合的有效边 缘, 分析表明当有效边缘趋于一条斜率为负的直线 ,而当 有效边缘趋向于MV投资 组合的有效边缘.M-VaR模型在不同置信水平下的投资组合有效边缘(国内18个股票160个周末收盘价确定的M- VaR投资组合的有效边缘)置信水平趋于1时有效边缘的变化趋势只改变投资组合收益的表达式,风险表达式不变.存在无风险资产时不同置信水平下M-VaR投资组合的有效边缘在收益中减去各项交易费用 (Transaction cost), 得净收益7. 考虑交易费用的投资组合选择模型(1) 假定交易费用是
13、交易量的线性函数交易费用:第i个资产投资期初的的持有量, 第i个资产买入卖出的单位交易费用,投资组合的期望收益使函数光滑化第 i 种资产买入的量,第 i 种资产卖出的量, 问题的维数由 n 增加为 2n.同时还要增加约束d 为允许交易量的限制向量模型1为各种可能的风险表达式.给定收益目标使风险最小的投资组合选择模型模型2给定风险承受水平,使收益最大的投资组合选择模型(2) 非线性的交易函数交易费用由两部分组成: a). 固定的交易费用, b). 同交易量相关的交易费用.特性: 当交易量小时,单位交易费用大, 随着交易 量的增大,单位交易用减小, 因此交易费用 是交易量的一个单调增的分段 凹函数. 市场的边际效应又使得交易量超过某个阀 值时, 交易费用迅速增加成为交易量的严 格凸函数.交易费用函数曲线临界点严格凸函数凹函数近似处理 限制交易量不超过临界值,用二次函数近似 凹函数部分.用二次函数近似交易费用函数给定可承受的投资风险水平下,使收益最大的投 资组合选择模型这是一个非线性的凸规划问题,交易费用的近似二次函数以均差为风险, 交易费用非线性,不同投 资上界所确定的(M-V)投资组合的有效边缘
