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1、山西省大同市第一中学山西省大同市第一中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试数学（理）试题数学（理）试题 第第卷卷 客观卷（共客观卷（共 36 分）分）一、选择题（每空一、选择题（每空 3 分，共分，共 36 分）分）1在中， “”是“”的（ ）ABC30A21sinAA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知抛物线经过点 M（3，2） ，则抛物线的标准方程为（ ）A或B或xy342yx492xy382yx492C或D或xy342yx292xy382yx2923已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E
2、为 CC1的中点，则直线2 2AC1 与平面 BED 的距离为( )A2 B C D1324过点（2，2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为（ ）2222yxA B 14222 yx12422 yxC D 12422 xy14222 xy5命题：“若，则”的逆否命题是（ ）42x22xA若，则2，若B 若，则42xx2x22x42xC若，或，则D若，或，则2x2x42x2x2x42x6 椭圆的两个焦点 F1，F2，点 M 在椭圆上，且，)0( 12222 baby ax 211FFMF ，则离心率等于（ ）341MF3142MFeA B C D 85 65 35 457 设，则的最小值是（ ）
3、),1 ,1 (ttta), 2(ttb ab A BC D55 553 53 5558已知命题：实数 m 满足，命题：函数是增函数。若p01mqxmy)49( 为真命题，为假命题，则实数 m 的取值范围为（ ）qp qp A （1，2） B （0，1） C1，2 D0，19如图 1，正方体中，PQ 是异面直线1111DCBAABCD 与 AC 的公垂线，则直线 PQ 与的位置关系为（ DA11BD）A平行 B异面 C相交 D无法判断10设、分别是椭圆的左、右焦点，若 Q 是1F2F1422 yx该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（ ）21QFQF A1 与2 B2 与2 C1 与1
4、 D2 与111设，常数，定义运算“*”：，若，21,xxR0a22 121212()()xxxxxx0x则动点 P（）的轨迹是（ ） , xx aA圆 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分12设离心率为 e 的双曲线 C：的右焦点为 F，直线 过点 F 且)0, 0( 12222 baby axl斜率为，则直线 与双曲线 C 的左、右两支相交的充要条件是（ ）klA B122ek122ekC D122 ke122 ke第第 II 卷卷 主观卷（共主观卷（共 64 分）分）二、填空题：二、填空题：(34=12)13已知定点 A,B，且=4,动点 P 满足,则的最小值为 。AB3P
5、APBPA14椭圆与双曲线有相同的焦点，22 1(mn0)xy mn22 1(a0,b0)xy ab12,FFP 是两曲线的一个焦点，则等于 。12PF PF15已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点xO0(2,)My到该抛物线焦点的距离为，则 。M3|OM 16已知点 P 是椭圆上任一点，那点 P 到直线 ：的距离的13422 yxl0122yx最小值为 。三、解答题：17(10 分) 椭圆 E：内有一点 P(2,1)，求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线22 =1164xy方程18(10 分) 已知抛物线与直线相交于xy2) 1( xkyA，B 两点。（1）求证：
6、OAOB；（2）当的面积等于时，求的值。OAB10k19(10 分) 直线 过点 P（0，2）且与椭圆相交于l1222 yxM，N 两点，求面积的最大值。MON20(10 分) 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，PABCDABCDADBC， 90ADC平面底面，为的中点，是棱上的点，PADABCDQADMPC2PAPD， 112BCAD3CD （）求证：平面平面；PQBPAD（）若为棱的中点，求异面直线与MPCAP所成角的余弦值.BM21(12 分) 如图 3，四棱锥 PABCD 的底面为菱形且，PA底面60DABABCD，AB=2，PA=，E 为 PC 的中点。aa32（1）求直线 DE 与
7、平面 PAC 所成角的大小；（2）求二面角 EADC 的余弦值。 数学数学(理理) 参考答案参考答案一.16BCDDDC 712 BAAADC二. 填空题：13 14 .m-a 15. 16. 7 22 3558三. 解答题：17:解:设直线与椭圆相交于,由点差法代入椭圆方程可得所求直线 ),(),(2211yxByxA方程为 x2y4018.（1）证明：如图 3，由方程组，消去 x 后，整理得 ) 1(2xkyxy02kyky设，由韦达定理知：),(),(2211yxByxA121 yy因为 A、B 在抛物线上，所以xy2212 22 122 22 1,xxyyxyxy因为，所以 OAOB1
8、12121212211yyxxyy xy xykkOBOA（2）解：连结 AB，设直线 AB 与 x 轴交于 N，由题意显然0k令，则，即0y1x)0 , 1(N因为212121 21 21yyONyONyONSSSOBNOANOAB所以4)11 (214)(1212 212 21kyyyySOAB因为，所以，解得10OABS41 21102k61k19. 解：由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为ll),(),(, 22211yxNyxMkxy由，消去 y 得 12222 yxkxy 068)21 (22kxxk由直线 与椭圆相交于 M、N 两点，所以，解得l0)21 (246422kk
9、232k又由韦达定理得 221221216218kxxkkxx所以212 2124)(1xxxxkMN24162112 22 kkk原点 O 到直线 的距离，l 212kd 2221642 21 kkdMNS令，则)0(322mkm3222 mk当且仅当，即时，22 422 4222 mmmmSmm42m22maxS20 .解：（）法一：为的中点，1,2BCAD QADBCDQ又即/,ADBC/BCDQ四边形为平行四边形，BCDQ/CDBQ即90ADC90AQBQBAD又平面平面 PAD ABCD且平面平面PADABCDAD平面 BQPAD又平面，平面平面 BQ PQBPQB PAD法二：，为
10、的中点，且./ADBC1 2BCADQAD/BCDQBCDQ四边形为平行四边形，BCDQ/CDBQ 即90ADC90AQBQBAD PAPDPQAD ，平面 平面，平面平面PQBQQADPBQADPADPQB PAD（），为的中点，PAPDQADPQAD平面平面 且平面平面PAD ABCDPADABCDAD平面 PQ ABCD如图，以为原点建立空间直角坐标系Q则，(0,0,0)Q(1,0,0)A(0,0, 3)P，(0, 3,0)B( 1, 3,0)C 是中点， MPC133(,)222M 133( 1,0, 3),(,)222APBM 设异面直线与所成角为APBM则=cos|cos,| |A
11、P BMAP BMAP BM 277异面直线与所成角的余弦值为 APBM277法二、连接交于点，连接，则ACBQOOM/OMPA所以就是异面直线与所成角BMOAPBM1131,222OMPABOBQ由（1）知平面，所以进而BQ PADBQPABQOM222237()122BMBOOM22 7cos77OMBMOBM21. 解：（1）如图 4，连 AC，BD 交于点 O，又由底面 ABCD 为菱形可得 BDAC，且点 O 是 AC 的中点，连结 OE，又 E 为 PC 的中点，所以 EO/PA。由 PA底面 ABCD，可得 EO底面 ABCD以 O 为原点，OA，OB，OE 分别为x，y，z 轴
12、建立空间直角坐标系则有 O（0，0，0） ，A（） ，B（0，a，0） ，0 , 0 ,3aC（） ，D（） ，0 , 0 ,3a0 , 0aP（） ，E（0，0，）aa32 , 0 ,3a3依题意得即为平面 PAC 的一个法向量)0 ,2 , 0(aDB 又，所以)3, 0(aaDE 21 222,cos2 aaaDEDB所以 直线 DE 与平面 PAC 所成角的60,DEDB大小为 30（2）由 PA底面 ABCD 可知是平面 CAD 的一个法向量)32 , 0 , 0(aAP 设为平面 EAD 的一个法向量),(zyxn 又)3, 0(),3, 0 ,3(aaEDaaEA由与得EAn EDn 03033azayazax令，得，所以 1 zx3y) 1 , 3, 1 ( n55 53232,cosaanAP由图可知二面角 EADC 为锐角，故二面角 EADC 的余弦值为55
