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1、1.掌握三角函数的图象及其变换.2.灵活掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性.3.理解三角函数的图象的对称性（轴对称、中心对称）.4.会求三角函数的单调区间，并能利用单调性求三角函数的最值. 学案10 三角函数的图象与性质1.(2009安徽)已知函数( 0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于 ,则f(x)的单调递增区间是 （ ）解析 因为函数y=f(x)的图象与y=2的两个相邻交点的距离为 ,故函数y=f(x)的周期为 ,所以答案 C2.(2009全国)如果函数y=3cos(2x+ )的图象关于点 中心对称,那么 的最小值为 （ ）A. B. C. D.解析 由y=
2、3cos(2x+ )的图象关于点 中心对称知, A3.(2009四川)已知函数f(x)=sin(x - )(xR),下面结论错误的是 （ ）A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)在区间 上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析 y=sin(x - )=-cos x,T= ,A正确;y=cos x在 上是减函数，y=-cos x在 上是增函数，B正确；由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确;y=-cos x是偶函数，D错误. D4.(2009山东)将函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 （
3、 ）A.y=cos 2x B.y=2cos2xC.y=1+sin(2x+ ) D.y=2sin2x解析 将函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=sin 2(x+ ),即y=sin(2x+ )=cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos 2x=2cos2x,故选B. B题型一 三角函数图象及其变换【例1】已知函数为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （1）求 的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
4、 解因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因为 0,且xR，所以(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象.(kR) 即 (kZ)时,g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为 (kZ).【探究拓展】在用图象变换作图时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现在考题中,因此必须熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量“x”而言，即图象变换要看“变量”有多大变化,而不是“角”变化多少. 变式训练1 已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)=f(x+ ),判断函数
5、g(x)的奇偶性,并说明理由.解f(x)的最小正周期当 时，f(x)取得最小值-2；当 时，f(x)取得最大值2. (2)由(1)知，f(x)=2sin 函数g(x)是偶函数. 题型二 三角函数图象及解析式【例2】已知函数 xR的最大值是1，其图象经过点(1)求f(x)的解析式；(2)已知解（1）依题意有A=1,则将点 代入得【探究拓展】确定三角函数 的解析式时,往往利用待定系数法,根据条件求得 的值,进而确定所求三角函数的解析式. 变式训练2 已知函数 g(x)=cos xf(sinx)+sin xf(cos x), (1)将函数g(x)化简成 的形式；(2)求函数g(x)的值域.解|cos
6、 x|=-cos x,|sin x|=-sin x.题型三 三角函数图象的对称性【例3】(2009重庆)设函数(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当 时，y=g(x)的最大值.解故f(x)的最小正周期为(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x),它关于x=1的对称点为（2-x,g(x).由题设条件,点(2-x,g(x)在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)【探究拓展】对于正弦函数 或余弦函数 来说，以下性质在解题中起着重要的作用：函数在其对称轴上取到最大（最小）值，相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；图象与x轴的交
7、点是其对称中心，相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 变式训练3 函数 的图象为C，如下结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号).图象C关于直线 对称；图象C关于点 对称；函数f(x)在区间 内是增函数；由y=3sin 2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C.解析 为对称轴； 为f（x）的图象的对称中心；由于函数y=3sin x在 内单调递增，故函数f(x)在 内单调递增； 由y=3sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到函数的图象，得不到图象C.答案 题型四 三角函数图象与性质的综合应用【例4】已知函数试求：(1)函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)函数f(x)在区间
8、 上的值域.解（1）= cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)= cos 2x+ sin 2x+sin2 x-cos2 x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=(kZ) (kZ)函数图象的对称轴方程为 (kZ).【探究拓展】求三角函数的值域通常利用三角函数的单调性求解;对形如y=asin x+bcos x的三角函数,可通过引入辅助角化为 的形式，则 (kZ);(kZ)，也可借助三角函数的单调性求解. 变式训练4 已知 (aR).(1)若xR,求f(x)的单调递增区间；(2)若x0, 时,f(x)的最大值为4,求实数a的值.解 (kZ)f(x
9、)的单调递增区间是 (kZ)当x= 时，f(x)取得最大值a+3.则由条件有a+3=4,得a=1. 【考题再现】(2009陕西)已知函数 xR(其中A0, )的周期为 ,且图象上一个最低点为(1)求f(x)的解析式；(2)当x 时，求f(x)的最值.【解题示范】（1）由最低点为 得A=2. 2分由 3分(kZ) 5分8分 当 即x=0时,f(x)取得最小值1； 10分当 即 时，f(x)取得最大值 12分 1.在解答三角函数y=sin x变换为 的图象时,平移变换一定要弄清楚平移的方向和长度单位,向左(右)平移 个单位,横向拉长(压缩)为原来的 倍,再纵向拉伸(压缩)为原来的|A|倍,向上(下
10、)平移|m|个单位.牢记“左加右减,上加下减”.2.三角函数 的图象关于直线x=xk对称,其中 (kZ);关于点(xi,0)对称,其中(kZ).3.在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性的问题时,通常是将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一,最高次数为一次的形式,即若给定区间xa,b上,则最大(小)值、单调区间随之确定;若定义域关于原点对称,且 是奇函数;若定义域关于原点对称,且是偶函数;其周期为一、选择题1.(2009湖南)将函数y=sin x的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象,则 等于 （ ）A. B. C. D.解析 由图象平移的性质易得，D2.（2009天津）已知函数
11、(xR, 的最小正周期为 ,为了得到函数 的图象,只要将y=f(x)的图象 （ ）A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度解析 由题意可知，A3.(2009浙江)已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是 （ ）解析 因为三角函数的周期为|a|1, 而D不符合要求,它的振幅大于1,但周期反而大于了D4.将函数 的图象F按向量 平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线 的一个可能取值是 （ ）A. B. C. D. 解析 将函数 的图象按向量 平移得到的图象的解析式为由 是一条对称轴得 (kZ).当k=-1时，A5.已知函
12、数 在区间 上的最小值是-2，则 的最小值等于 （ ）A. B. C.2 D.3解析 函数 在区间 上的最小值是-2，则 的取值范围是 的最小值等于B6.已知函数f(x)=asin x-bcos x (a、b为常数，a0,xR）在 处取得最小值，则函数 是（ ）A.偶函数且它的图象关于点 对称B.偶函数且它的图象关于点 对称C.奇函数且它的图象关于点 对称D.奇函数且它的图象关于点 对称解析 函数f(x)=asin x-bcos x(a、b为常数,a0,xR),f(x)= 若函数在 处取得最小值， 二、填空题7.(2009江苏)函数在闭区间 上的图象如图所示,则解析 由图象可知，38.已知x,y是实数且满足sin xcos y=1,则cos(x+y)=_.解析 sin xcos y=1,sin x=cos y=1或sin x=cos y=-1,(kZ),
