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1、（第 1 页）立体几何专题 : 球的组合体一、棱锥的内切、外接球问题例 1. 正四面体的棱长为a，则其外接球和内切球的半径是多少？例 2设棱锥ABCDM的底面是正方形，且MDMA，ABMA，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。二、球与棱柱的组合体问题1. 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图 3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得 2aR；2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4 作截面图，圆O为正
2、方形EFGH的外接圆，易得aR 22。图 3 图 4 图 5 图 2 （第 2 页）3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR 23 1。例 3. 在球面上有四个点P、A、B、C. 如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA, 那么这个球的表面积是_. 练习： 一棱长为a2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得
3、球半径。例 4. 已知正三棱柱111CBAABC的六个顶点在球1O上，又知球2O与此正三棱柱的 5 个面都相切，求球1O与球2O的体积之比与表面积之比。练习：正四棱柱1111DCBAABCD的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。 （答案为：224R）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。图 6 （第 3 页）练习题：1、 已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1 的球面上， 且满足PA、PB、PC两两
4、垂直，当PC AB取最大值时，三棱锥OPAB（O为球心）的高为_。2、 在平行四边形ABCD中，0AB BD，222|6ABBD， 若将ABD沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD外接球的表面积是_。3、 在四面体ABCD中，4ABCD，5BCACADBD，则此四面体外接球的表面积为_。4、 如果长方体1111ABCDABC D的顶点都在半径为9 的球O的球面上，那么长方体1111ABCDABC D的表面积的最大值是_。5、 已知SC为球O的直径，A、B为该球面上的两点，2AB，4ASCBSC，若棱锥ASBC的体积为4 33，则球O的体积为 _。6、 已知A、B、C、D四点均在半径为29
5、2的球面上，且13ACBD，5ADBC，ABCD，则三棱锥DABC的体积为 _。7、 在三棱锥SABC中，ABBC，2ABBC，2SASC，AC的中点为M，SMB的余弦值为33，若S、A、B、C在同一个球面上，则该球的表面积为_。（第 4 页）8、 已知三棱锥PABC的各个顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO面ABC，3ACBC，则三棱锥的体积与球的体积之比为_。9、 已知正六棱柱的12 个顶点都在一个半径为3 的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高为 _。10、已知三棱锥SABC所有的顶点都在球O的球面上，SA面ABC，2 3SA，1AB，2AC，60BAC，则球O的表面积为
6、_。11、已知三边长分别为4、5、6 的ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥PABC的体积为 _。12、已知三棱锥PABC中，90BPC，PA面BPC，其中10AB，13BC，5AC，P、A、B、C四点均在球O的球面上，则球O的表面积为 _。13、已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为3 的球面上，且PA、PB、PC两两垂直，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为_。14、在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD外接球的体积为_。（第 5 页）15、设三棱柱111ABCABC的侧棱垂
7、直于底面，2ABAC，90BAC，12AA，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_。16、在三棱柱111ABCABC中，已知1AA面ABC，12AA，2 3BC，90BAC，且三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则球的体积为_。17、在平面四边形ABCD中，1ABADCD，2BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使面ABD面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为_。18、已知三棱锥SABC，侧棱SA、SB、SC两两垂直，SAB、SBC、SAC的面积分别为1、32、3，则此三棱锥外接球的表面积为_。19、球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，ABC是边长为2 的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为_。20、四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，记该球为球O，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积最大时，其表面积等于44 3，则球O的体积为 _ 。21、如下图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的（第 6 页）243外接球的表面积为_。22、 如上图 , 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为 _。
