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1、内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第1页 共 1 页特别说明：未经本人允许不得外传！ 以上内容只作为复习备考之用，如遇其他情况，本人不负任何责任！ 热力学与统计物理整理1.1 试求理想气体的体胀系数, 压强系数和等温压缩系数。解：已知理想气体的物态方程为,pVnRT（1） 由此易得11,pVnR VTpVT（2）11,VpnRpTpVT（3）2111.TTVnRT VpVpp（4）2.4 已知0TU V，求证0.TU p解：对复合函数( ,)( ,( ,)U TPU TV Tp（1）求偏导数，有.TTTUUVpVp（2）如果0TUV，即有0.TUp（3）式（2）也可以用雅可比行列式证明：
2、(,)( ,)(,) ( ,)( ,) ( ,)TUUTpp TUTVTVTp T.TTUV Vp（2）内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第2页 共 2 页1.3 在0 C和 1np 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.85 10 K7.8 10.npT和T和可近似看作常量，今使铜块加热至10 C。问：（a）压强要增加多少np 才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100np ，铜块的体积改变多少？ （a）根据 1.2 题式（ 2） ，有.TdVdTdpV（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，d
3、p与dT的关系为.TdpdT（2）在和T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得2121.TppTT（3）将所给数据代入，可得52174.851010622.7.8 10nppp因此，将铜块由0 C加热到10 C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622np（b）1.2 题式（4）可改写为2121 1.TVTTppV（4）将所给数据代入，有57144.85 10107.8 101004.07 10 .VV因此，将铜块由0 C加热至10 C，压强由 1np 增加 100np ，铜块体积将增加原体积的44.0710倍。内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第3页 共 3 页1.14 试根据热力学第
4、二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在pV图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和 B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的） ，则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB 中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积 （正值） 。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有WQ。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第4页 共 4 页2.2 设一物质的物
5、态方程具有以下形式：( ),pf V T试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：() ,pf V T（1）故有( ).Vpf VT（2）但根据式（ 2.2.7 ） ，有,TVUpTpVT（3）所以( )0.TUTf Vp V（4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度 T 的函数 . 2.3 求证：( )0;HSap( )0.USbV解：焓的全微分为.dHTdSVdp（1）令0dH，得0.HSV pT（2）内能的全微分为.dUTdSpdV（3）令0dU，得0.USp VT（4）内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第5页 共
6、 5 页2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关 . 解：根据习题 2.8 式（ 2）22,VTVCpTVT（1）范氏方程（式（ 1.3.12 ） ）可以表为22.nRTn apVnbV（2）由于在 V 不变时范氏方程的p 是 T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是 T 的函数，与比体积无关 . 不仅如此，根据 2.8 题式（ 3）0202( ,)( ,),VVVV VpCTVCTVTdVT（3）我 们知道，V时范氏 气体 趋于理想气体 . 令上 式的0V，式 中的0( ,)VCTV就是理想气体的热容量 . 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的 . 内
7、部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第6页 共 6 页3.5 求证：,.T VV nUTnT解：自由能FUTS是以,TV n为自变量的特性函数，求F 对 n 的偏导数（,TV不变） ，有,.T VT VT VFUSTnnn（1）但由自由能的全微分dFSdTpdVdn可得,T VT VV nFnSnT（2）代入式（ 1） ，即有,.T VV nUTnT（3）内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第7页 共 7 页3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为1.mp dTULT dp如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m
8、U 、摩尔焓mH 和摩尔体积mV 的改变满足.mmmUHp V（1）平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L：.mHL克拉珀龙方程（式（ 3.4.6） ）给出,mdpLdTTV（3）即.mL dTVT dp（4）将式（ 2）和式（ 4）代入（ 1） ，即有1.mp dTULT dp（5）如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为2.dpLpdTRT（6）式（5）简化为1.mRTULL（7）内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第8页 共 8 页4.1 若将U看作独立变量1,
9、kT V nn 的函数，试证明：（a）;i iiUUUnVnV（b）.ii iUUuunV解： （a） 多元系的内能1,kUU T V nn是变量1,kV nn 的一次齐函数 . 根据欧勒定理（式（ 4.1.4） ） ，有,ji iiT V nUUUnVnV（1）式中偏导数的下标in 指全部k个组元，jn 指除 i 组元外的其他全部组元 . （b）式（ 4.1.7）已给出v ,ii iVn,ii iUnu（2）其中,v,jjii iiT p nT p nVUunn偏摩尔体积和偏摩尔内能. 将式（ 2）代入式（1） ，有,vijiiiii iiiT niT V nUUn unnVn（3）上式对i
10、n 的任意取值都成立，故有,v.ijii T niT V nUUuVn（4）内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第9页 共 9 页补充习题 1：根据玻尔兹曼分布推导理想气体的物态方程。 vkvnm2ln23lnvvNvlnzNPm2m2m2dededxe)2(1m212x-m2-m2-x-2332 31222 i2 x2 x2222TNNPPmhvdPdPdPedxdydz hZPPPPxPzYxPPP mzYxzYx）（式根据）（所以，其中，）（个粒子的能量为解：考虑单原子分子单）（）（补充习题 2：为麦克斯韦速率分布律其中）（）（）（。为麦克斯韦速率分布律其中）（）（范围内的分子数为质
11、心动量在）（）（）（场作用对于近独立粒子，无外）解：（和速率分布律。导麦克斯韦速度分布律根据玻尔兹曼分布，推）（）（）（）（）（)()(*k2m4sinsinsin*k2m.sin.sinv2),(),(*)mk21(,*mk21dmk2hvemk2hveev heeee hv21a12k2m2302k2m232)(k2m23mk2123232 -232 -mk21-3- mk21-3-3332 z2 y2 x222222 z2 y2 x2 z2 y2 x2 z2 y2 x2 z2 y2 xvfdvvfdvveTNdNdyddyddyddvveTNdNdyvdvdvdydvddvdvdvvvv
12、fdvdvdvvvvfNdNdvdvdveTNdNmvPmvPmvPdPdPdPeTNNdPdPdPTNTdPdPdPdPdPdP hvNdPdPdPdPdPdP hvhPPPmev Tv TzyxzyxzyxzyxzyxvvvTzzyyxxzyxPPP TzyxzyxPPPT zyxPPPTzyxPPP zyxl llllzyxl内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第10页 共 10 页补充习题 3： 对于处在平衡状态的孤立系统，其粒子数N，体积 V 和能量 E 确定，试分别推 导玻尔兹曼分布和玻色分布。lllll lllll llll lllEBllllllllllllllllEBll
13、llllEBEBEBllll EBllllllllllllll llll ll lBMlllll lBMBMll ll lllBMlBMBMla llBMaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaEeNeeaaaENaENaaNNllnln1ln)ln(alnlnlnln)1(ln) 1(ln1lnln1-lnmmlnm, 1, 1a)!1ln(!-lna)!1(lnlnln)!1( !)!1(2a182paa0)(lna-0alna-0ln:0a a0lna-lnlnlna-lnaaa1alnaa-lnlna!a-lnlnln!a!1,l,*l,l,lll,lll l,l,lll）（
14、）（）（）（）（则）（！利用近似若最大最大，则可求若使）玻色分布（满足，其中，）有推导过程，可以参考（上式即为玻尔兹曼分布或根据拉格朗日乘法满足约束条件取最大值，则若）（！是求若要求其最大值，也就）玻尔兹曼分布：解：（内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第11页 共 11 页E eN eeaaaaaaaaaaelaaaaEaEaNaaallllllll llllllllllllllllllllllll llllllllllEBllllllllEBEB1, 11a)ln()(lnlnln, 1, 1, 1)!ln(!ln!lnln)!( !) 3(1a)2, 1(0ln)ln(0ln)ln(
15、a0-ln00 a0lnlnlnl,同理玻色分布，得上式可以近似为假设费米分布或利用拉格朗日乘子法：满足约束条件）（取得最大值，则若使内部资料，谢绝交流,如有错误，概不负责！第12页 共 12 页3.4 求证：（a）,;V nT VS Tn（b）,.T pt nV pnVT,n,n,VT,VT,n,VT,n,n,n-nnn-nn,S-dn nddddnddd)n,(n,dddd-d-ddaSTTF TTFSFTFFVVFTTFFVPTSFVTFFVTFVPSTUTSSTUFTSUFVVVTV序不影响结果二阶混合偏导求导数顺），（求偏导对）（）（对比）（）（）（的函数即可看作又）解：（PTTTPTPTnTnTPTVPGPPGVnG PGdPPGdnnGdTVGVVPGTSUPVGTSUFPVFG,n,n,Pn,npn)n(n)(,)(V)()() TG(dGP)n,G(T,GdnSdT-dPdPdV-TdSdUSdT,-TdS-dUdPdd,b）（）（响结果二次偏导求导顺序不影）（），（）（对两式分别求偏导，得得对比（开系）（二一三年十一月二十日 11光伏孟祥龙
