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1、 第二章 初等模型2.1 公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩2.6 实物交换2.7 核军备竞赛2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化2.1 公平的席位分配系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 乙 63 31.5丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.8156.615 3.570 21.000 21问 题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人
2、数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比 例 加 惯 例对 丙 系 公 平 吗系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 10.3 10乙 63 31.5 6.3 6丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.815 116.615 73.570 321.000 21“公平”分配方法衡量公平分
3、配的数量指标人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当p1/n1= p2/n2 时，分配公平p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对A的不公平 程度已大大降低!虽二者的绝对 不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是
4、B不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即“公平”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ，定义1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1, n2)应计算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不
5、同刹 车 距 离反应时间司机 状况制动系统 灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比 ，使汽车作匀减速运动。车速常数反 应 距 离制 动 距 离常数假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和2. 反应距离 d1与车速 v成正比3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变;F d2= m v2/2F mt1为反应时间且F与车的质量m成正比 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模 型最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间车车速 (英里/小时时) (英尺/秒)实际
6、实际 刹车车距离 （英尺）计计算刹车车距离 （英尺）刹车时间车时间 （秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6088.0248（268）261.43.0 70102.7343（372）347.13.6 80117.3464（506）444.84.3“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”模 型车车速 (英里/小时时)刹车时间车时间 （秒） 201.5 301.8 402.1 502.5603.0 703.6 804.3车车速（英里/小时时）01010404
7、0606080 t（秒）12342.5 划艇比赛的成绩赛艇 2000米成绩 t (分) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长l 艇宽b(米) (米) l/b 7.93 0.293 27.09.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0空艇重 w0(kg)浆手数n16.313.6 18.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人
8、）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。问 题准 备调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆 功率 赛艇 速度赛艇 速度前进 动力前进 阻力浆手 数量 艇 重浸没 面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型模型假设1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力
9、 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型 建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩 t n 1/9np fv模型检验n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验 tn12487.21 6.88 6.32 5.84 与模型巧合！问 题甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y
10、分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) xy yo0xo2.6 实物交换xy yoy1y20x1x2xop1p2. .甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2) 具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，MN将所有与p1, p2无差别别的点连连接 起来，得到一条无差别别曲线线 MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比M
11、N各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小 ) 下凸(凸向原点) 互不相交在p1点占有x少、y多， 宁愿以较多的 y换取 较少的 x;在p2点占有y少、x多， 就要以较多的 x换取 较少的 y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度（f 等满意度曲线）xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 系xOy, 且反向）甲的
12、无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作ABABp交换方案的进一步确定交换方案 交换后甲的占有量 (x,y)0xx0, 0yy0矩形内任一点交换路 径AB双方的无差别曲线族等价交 换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换 前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线CDAB与CD的 交点p设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0xo.x2.7 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“
13、核威慑 战略”，核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的 核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在 暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹 等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数 量受哪些因素影响。背 景以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹 ，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核
14、导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。模 型 假 设图 的 模 型y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲 方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲 安 全 区双方 安全区P平衡点(双方最少导弹数)乙安全线精细 模型乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。x s22.9 量纲分析与无量纲化物 理 量 的 量 纲长度 l 的量纲记 L=l 质量 m的量纲记 M=m时间 t 的量纲记 T=t动力学中 基本量纲L, M, T速度 v 的量纲 v=LT-1导出量纲加速度 a 的量纲 a=LT-2力 f 的量纲 f=LMT-2引力常数 k 的量纲 k对无量纲量，=1(
