数理金融学第4章ross套利定价模型

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1、数理金融学 第4章ROSS套利定价模型4.1 概述 资本资产定价模型提示了在资本市场均衡 状态下证券期望收益率与风险之间的关系 ，简洁、明确地回答了证券风险的合理度 量问题以及证券如何在资本市场上被定价 。 资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中 最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持 。 CAPM与APT建立在均值-方差分析基础上的CAPM 是一种理论上相当完美的模型，但实际上只 有理论意义，因为假设条件太多、太严格！除CAPM理论外，另一种重要的定价 理论是由Stephen Ross在1976年建立的套利 定价理论（Arbitrage pricing theory，APT） ，从另一个角度探讨

2、了资产的定价问题。市场均衡条件下的最优投资组合理论 =CAPM无套利假定下因子模型=APT CAPM是建立在一系列假设之上的非常理 想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假 设。这其中最关键的假设是同质性假设。 相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足，而不需要 风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加 风险的前提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡 ！套利是指利用同一资产在不同市场上或不同资产 在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而 获取利润的行为。 无风险套利 只要投资者发现这种机会，他就会力图通过

3、在两 个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨 额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时 ，两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当 何等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时 ，套利者就会结束其套利行为。 价格同一律 当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取 差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的 定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利， 因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均 衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价 格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价 格 会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某 种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行 为就会终止，市场将处

4、于均衡状态，各种证券的 定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达 到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平， 在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套 利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本 论点。 当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处 于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理 定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关 系，这些问题正是套利定价理论所要回答的。4.2 因子模型 （Factor model） 定义：因子模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因子波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。 因子模型是APT的基础，其目的是找出这 些因素并确认证券收益率对这些因

5、素变动 的敏感度。 依据因子的数量，可以分为单因子模型和 多因子模型。4.2.1 单因子模型 引子若把经济系统中的所有相关因素作为 一个总的宏观经济指数。 假设：（1）证券的回报率仅仅取决于 该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司 特有风险残余风险 则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以 证券回报率为因变量的单因子模型。 例如，GDP的预期增长率是影响证券 回报率的主要因素。 例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中 =在给定的时间t，证券i 的回报 率 =在同一时间区间，市场因子m 的相对数 =截距项 =证券i对因素m的敏感度 =随机误差项，因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率

6、（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.0 4% 图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示 股票A的回报率。图上的每一点表示：在 给定的年份，股票A的回报率与GDP增长 率。 通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）从这个例子可以看出，A在任何一 期的回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分a 2.依赖于GDP的预期增长率，每 一期都不相同的部分bIGDPt 3.属于特定一期的特殊部分et。 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列 其中：ft是t

7、时期公共因子的预测值；rit在时期t证券i的回报；eit在时期t证券i的特有回报ai零因子bi证券i对公共因子f的敏感度 (sensitivity),或因子载荷（factor loading）（8.1） 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（8.1）式 变为并且假设（8.2） 假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没 有影响，即因子f与随机项是独立的，这 样保证了因子f是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？ 假设(2)：一种证券的随机项对其余任何 证券的随机项没有影响，换言之，两种证 券之所以相关，是由于它们具有共同因子 f所致。 如果上述假设不成立，则单因子

8、模型不准 确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值） 为 其回报率的方差因子风险非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为（8.3）单因子模型的优点 单因子模型能够大大简化我们在均值-方差 分析中的估计量和计算量。假定分析人员 需要分析n种股票，则均值方差模型：n个期望收益，n个方 差， (n2-n)/2个协方差单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个 残差 ，一个因子f方差 ，共3n1个估计 值。若n50，前者为1325，后者为151。单因子模型具有两个重要的性质 风险的分散化分散化导致因子风险的平均化分散化缩小非因子风险假设残差有界，即且组合p

9、高度分散化，即wi充分小，则对 于资产i成立则有从而 单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个 因子相关，这些因子如利率变化，GDP增 长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前 者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。 单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。4.2.2 多因子模型两因子模型 若只考虑一期的模型，则可以省略表示 时间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值 其回报率的方差对于证券i和j，其协方差为证券i对因子1的敏感度 两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：有关资产组合有效边界的估计和 计算量大大减少

10、（但比单因子增加）， 若要计算均方有效边界，需要 n个期望收益，n个bi1， n个bi2， n 个残差，2个因子f方差，1个因子间的协方 差，共4n3个估计值。分散化导致因子风险的平均化。分散化缩小非因子风险。多因子模型对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的 收益可以表示为4.3 套利定价理论（APT） 定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！ 两种套利方法： 当前时刻净支出为0，将来获得正收益 （收益净现值为正）当前时刻一系列能带来正收益的投资 ，将来的净支出为

11、零（支出的净现值为0）。 假设现在6个月即期年利率为10%（连续 复利，下同），1年期的即期利率是12% 。如果有人把今后6个月到1年期的远期利 率定为11%，则有套利机会。 套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资 金（假设1000万元）签订一份协议（远期利率协议），该 协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后 从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5 ）。按12%的利率贷出一笔1年期的款 项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息 1127万元（等于1000e0.121），并用 1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年 期的债务后，交易者净赚1

12、7万元（1127 万元-1110万元）。 套利不仅仅局限于同一种资产（组合） ，对于整个资本市场，还应该包括那些“ 相似”资产（组合）构成的近似套利机会 。 无套利原则（Non-arbitrage principle)： 根据价格同一率（the law of one price） ，两种具有相同风险的资产（组合）不 能以不同的期望收益率出售。套利行为将导致一个价格调整过程， 最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机 会消失！ APT的基本原理：由无套利原则，在因子 模型下，具有相同因子敏感性的资产（组 合）应提供相同的期望收益率。 APT与CAPM的比较 APT对资产的评价不是基于马克维茨 模型

13、，而是基于无套利原则和因子模型。不要求“同质期望”假设，并不要求人 人一致行动。只需要少数投资者的套利活动 就能消除套利机会。不要求投资者是风险规避的！4.3.1 APT的基本假设 市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的（ Perfectly competitive and frictionless capital markets）； 投资者是不知足的：只要有套利机会就会 不断套利，直到无利可图为止。因此，不必对投资者风险偏好作假设 ？ 资产的回报可以用因子表示 APT假设证券回报可以用预期到的回报和 未预期到的回报两个部分来解释，构成了 一个特殊的因子模型未预期到的变化预期的回报f是证券i的某个

14、因子的变化，基于有效市场理 论，它是不可预测的。要依靠“旧”的f来获利是不可能的！ 若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时 刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无 法预测t时刻的因子，即对于因子的变化 没有任何倾向公平赌局（Fair game ） 从有效市场的理论来看，价格（回报）的 不可预测，本质上是信息的不可预测，也 就是因子的变化不可预测，这些信息既有 宏观的、也有微观的。充分分散投资组合的套利定价 假定某证券组合P由n种证券构成，各证券的组合 权数为 =其中代表投资组合P对共同因子F的敏感度；为P的非系统收益率。类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们 可将证券及证券组合的风险分成由

15、共同因子引起=的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两 部分。由（4-2）式，有由（4-3）式有其中证券组合P的非系统风险等于：=当证券组合包含的证券数越来越多且各证券权重的平方越来越小时,上式中的非 系统风险将逐渐趋于零。 得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率 构造：且， 下面再看下图， 收益率（%）PB10 8oF我们要问充分分散组合P与充分分散组合B能否 同时并存？ 答案不可能。因为无论共同因子处于 何种水平，证券组合P都优于证券组合B，这就是 产生了套利机会（无风险）。例如,投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值 一百万元的P,构造出一个零投资组合,其收益额为:1百万=2万元 注意,投资者没有使用自己的任何本金,就获得了 2万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入,该零 投资组合的值就为零，因此系统风险全部消除, 同时,由于证券组合P与B都是充分分散组合,非系统 风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何 风险,如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获 取多少收益就能得到多少,事实上,这是不可能的,即 使这种机会出现,也不会保持