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1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程请同学们思考一个问题我们对抛物线已有了哪些认识？想一想？yxo二次函数是开口向上或向下的抛物线 。生活中存在着各种形式的抛物线生活中存在着各种形式的抛物线yxo问题探究：可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等 .点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.MFl观察发现HMFl在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线.点F叫抛物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线 d 为 M 到 l 的距离准线焦 点d一、抛物线的定义:MFl二、标准方
2、程的推导二、标准方程的推导如何建立坐标系呢？思考：抛物线是 轴对称图形吗？怎 样建立坐标系,才能 使焦点坐标和准线 方程更简捷?xyoFMlNK设KF= p 则F（ ，0），L：x =- p 2p 2设动点M的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，化简得 y2 = 2px（p0）2解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导( p 0)方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做 抛物线的标准方程抛物线的标准方程其中 p p 为正常数，它的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离抛物线的标准方程抛物线的标准方程即右焦点F（ ，0
3、），左准线L：x =- p 2p 2但是，对于一条抛物线，它在坐标平面 内的位置可以不同，所以建立的坐标系 也不同，所得抛物线的方程也不同，所 以抛物线的标准方程还有其它形式。方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴抛物线的标准方程抛物线的标准方程yxo抛物线的标 准方程还有 哪些形式?想一想？抛物线的标准方程抛物线的标准方程其它形式的 抛物线的焦 点与准线呢 ？yxoyxoyxoyxo图象开口方向 标准方程焦点准线向右向左向上向下第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴) 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系数的正
4、负决定了开口方向.思考:M是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是x0 + 2pOyxFM这就是抛 物线的焦 半径公式 !怎样把抛物线的位置特怎样把抛物线的位置特 征（标准位置）和方程特征征（标准位置）和方程特征 （标准方程）统一起来？（标准方程）统一起来？抛物线的标准方程抛物线的标准方程想一想？抛物线方程左右 型标准方程为 y2 =+ 2px (p0)开口向右: y2 =2px(x 0)开口向左: y2 = -2px(x 0)标准方程为 x2 =+ 2py (p0)开口向上: x2 =2py (y 0)开口向下: x2 = -2py (y0)抛物线
5、的标准方程抛物线的标准方程上下 型例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标标准线线方程（1 ）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）1 8y= - 1 88x= 5（- ，0）5 8 （0，-2）y=2课堂练习课堂练习注意：求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 标准形式例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（-2，0）（2）准线方程 是x = （3）焦点到准线的距离是2解：y2 =-8x 解：y2 =x 解：y2 =4x或y2 = -4x或x2 =4y或x2 = -4
6、y 1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后， 它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程 就会有多解由例1.和例2.反思研究已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。AOyx解：1）设抛物线的标准方程为x2 =2py，把A（-3，2）代入，得p= 2）设抛物线的标准方程为y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。课堂练习课堂练习例题已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线 l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程3。抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法2。抛物线的标准方程与其焦点、准线4。注重数形结合的思想1 1。抛物线的。抛物线的定义定义课堂小结课堂小结5。注重分类讨论的思想
