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1、数学史上的三次危机 无理数的发现 第一次数学危机 无穷小是零吗？第二次数学危机 悖论的产生第三次数学危机 结束语 无理数的发现 第一次数学危机 【摘要】公元前580568年之间，希帕索斯发 现了第一个无理数2，促使了第一次数学危机的发生。而 后，在几何学中引进了不可通约量，使欧式几何变得更加 完善。 大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无穷小量是零还是 非零”促使了第二次数学危机的发生。而后，柯西提出极 限理论，使微积分更完善。 十九世纪下半叶，罗素悖论的提出，促使了第三次数学 危机的发生。而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出 ZF公理系统，使得集合论得到了发展。 【关键词】 危机 无理数
2、无穷小 罗素悖论返回菜单 引言： 数学,绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而 已。它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是 一个演变和提升的过程。 德国数学家汉克尔曾有一段精彩的论述：“在大多数学科 里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造 被另一个人的创造所破坏。唯独数学，每一代人都在古老 的大厦上添加一层楼。” 论述虽精彩，但数学史上的三次危机，也时时提醒着人 们，古老的数学大厦，也是需要修理和加固的。 经济上有危机，历史上数学也有三次危机返回菜单 第一次 危机发生在公元前580568年之间的古希腊，数 学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教 、科学和哲
3、学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有 发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很 有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派 所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而 仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现 象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据 勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现 ，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数 的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒 返回菜单 谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学 派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊 数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一
4、发现被投入海中 淹死，这就是第一次数学危机。这场危机通过在几何学中 引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存 在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通 约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就 不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约 的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受 整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约 量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几 里得所吸收，部分被收人他的几何原本中。第一次数 学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学 的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来 表示，反之却可以
5、由几何量来表示出来，整数的权威地位 开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和 经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开 始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不 说是数学思想上的一次巨大革命！返回菜单无穷小是零吗？第二次数学危 机 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后， 由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即 第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化， 在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾 的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要 创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量 作分母进行除法
6、，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把 无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公 式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它 的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是 零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零， 又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪， 柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量 作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义 发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本 质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前 人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解 放出来，第二次数学
7、危机基本解决。返回菜单 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者 向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础 -无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：“牛顿 在求xn的导数时，采取了先给x以增量，应用二项式（ x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以以求出xn的 增量与x的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的 最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量 ，又令增量为零，也即假设x没有增量。“他认为无穷小dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬， “dx为逝去量的灵魂“。无穷小量究竟是不是零？无穷小及 其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长
8、达一 个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。返回菜单 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调 形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没 有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等 概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级 数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连 续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及 函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微 积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、 狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴 德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪 ，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的 基础。 第二次数学危
9、机的解决使微积分更完善。悖论的产生第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的 ，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。 这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造 成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实 际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自 然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后， 康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖 论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖 论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年 给出的，它涉及到某
10、村理发师的困境。理发师宣布了这样 一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给 村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识 到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸 ？“如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸 ；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗 素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则第卷 末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了， 即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的 时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地“。于是终结 了近12年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像
11、一切灾难都出来了 ，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛 盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现 代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不 能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以 ，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式 延续着。结束语： 一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲 学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定 无疑著称的数学也不例外。 数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减 法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但 是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与 无穷，连续与离散，乃
12、至存在与构造，逻辑与直观，具体 对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历 史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整 个数学的基础时，就产生数学危机。 矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新 的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是 事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就 是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗 争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同 样，引进分数使乘法有了逆运算除法，否则许多实际 问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所 有的量都能用有理数来表
13、示?于是发现无理数就导致了第 一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何 学的体系化。 方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“ 不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的 问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧 几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能 解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减 、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题， 即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直 尺作图来解决等等。 这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人 类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几 乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽 象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数 学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现， 尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问 题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理 逻辑的大发展。
