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1、第三 节 泰勒公式第三章 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式 三 、泰勒公式的应用一、泰勒（Taylor）公式一、泰勒(Taylor)公 式1. 泰勒公式的建立回顾：特点:以直代曲设 f (x)在 x0 处可导，则x 的一次 多项式不足: 1 精确度不高2 难以估计误差需要解决的问题:2 给出误差：的具体估计式.1观察：有相交相切猜pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数越高，它们就有可能越接近？pn(x) 的确定:要求:求系数寻求n次近似多项式 ：要求:带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式阶的导数, 有则对2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公 式 定理3.6Rn
2、(x) 的确定：分析 要证只需证令(称为余项) ,只需证证令则有洛必达法则定理3.6的条件可以减弱：注定理3.6 证明同上，只需注意到：提示：带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式直到 n +1 阶的导数,有则对定理3.73. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor) 公式其中证只需证令则有柯西中值定理且即解例 1因此注 1 泰勒公式的余项 估计(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为2 泰勒公式的 特例(3) 若在泰勒公式中称为麦克劳林公式二、麦克劳林（Maclaurin）公式由此得近似公式便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）
3、公式： 在泰勒公式中取其中几个初等函数的麦克劳林公式：其中类似可得其中其中已知其中类似可得三、泰勒公式的应用1. 在函数逼近中的应用 误差其中M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界.常见类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.2. 在近似计算中的应 用在例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解中令 x = 1 , 得由于欲使的麦克劳林公式由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此3. 利用泰勒公式求极限解例3(方法1)用泰勒公式例4解(方法2
4、)用洛必达法则，需换元:例5证4. 利用泰勒公式进行证明证例 6由麦克劳林公式有证明在开导数，从而两式相减得从而由介值定理，1. 泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式 .内容小 结2. 常用函数的麦克劳林公式3. 泰勒公式的应用(2) 近似计算(3) 求极限 (4) 证明(1) 利用多项式逼近函数思 考 题1. 在第一 章6 中，重要极限为什么？解由第一 章6 的证明，知舍掉对于固定的n, 令m 得n+1 项 由夹逼准则，得一方面，另一方面，由于解2.备用题例2-1 计算 cos x的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解近似公式的误差为令解得即当时, 由给定的近似公式计
5、算的结果能准确到 0.005 .用近似 公式选择解例2-2 计算的近似值 , 要求精确到小数点 后的第 5 位 .因此符合精度要 求，解用洛必塔法则不方便 !用泰勒公式将分子展到项, 由于例3- 1解原式例 3- 2例3-3利用泰勒公式求极限解解例 3 - 4因为所以证例 5 - 1其中a, b是非负数，求证：对一切有二阶导数，两式相减得于是证例 5- 2使得可得从而得使得即存在一点证例 5- 3由泰勒公式，得证例 6 - 1所以在因为所以泰勒 (1685 1731)英国数学家, 他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林 (1698 1746)英国数学家, 著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数 .
